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8.画板中的双点迭代
双点迭代就是从2个初始点开始迭代，但是这两个初始点不能同时迭代，否则画板不堪负重。
我们应该采用分次迭代，迭代完成后采用取代的办法，这样就可以把那些不需要的点抛掉，尽可能的
让不需要的迭代的点不去参加迭代。我前面做了个显示各种J集合的工具，我体会到当迭代的点的总数
到达万级时，速度就很吃力了。所以双点迭代的关键是让不需要迭代的点不要迭代。做法如下：
设f(z)=z^2+c,c=c1+c2*i,迭代的初始点为z ，z‘,
A---以z=x+yi为初始点迭代：
第一步：在坐标平面内描点A（x，y）
第二步，从z开始迭代，迭代次数为n：z，z1，z2，,...,zn.
记迭代终点zn的为An（xn，yn）。
其中对应规则为 x→x^2-y^2+c1,y→2xy+c2
B---以z’=x'+y'*i为初始点迭代，迭代次数为m：
第一步：在坐标平面内描点A'(x',y')
第二步，从z'开始迭代，：z'，z1'，z2'，,...,zm'.
其中对应规则为：x‘→x’^2-y‘^2+c1,y’→2x‘y’+c2。
记迭代终点为An‘（xn’，yn‘）。
这是两次独立的迭代，所以不会有不该迭代的点参加迭代。
接下来就是要进行取代，
我们要求z和z’充分接近，故引入一个参数h=h1+h2*i，|h|为无穷小量。
令z‘=z+h，则x’=x+h1，y‘=y+h2.、
所以，我们在第二次跌代完成后，把x’，y‘按上面的式子取代就可以了。m也可以用n取代。
但是我觉得留下m参数观察n，m取不同的的着色效果是不错的选择。如n-m≠0时会得到另类的J集合图象。
h参数控制了J集合的相邻的两个等势圈的交界线的粗细。如h=0.1,0.01,0.001.0.0001会得到精度
不同的图形。
最后是用势差上色。
记变量dr=|Δz[n+1]|=|z[n+1]'-z[n+1]|≈2|zn|*|Δzn|，其中
2|zn|=2sqrt(xn^2+yn^2);
|Δzn|=sqrt((x'n-xn)^2+(yn'-yn)^2).
记R=r*|sin(π*dr/T)|,G=g*|sin(π*dr/T)|,B=b*|sin(π*dr/T)|.
r:g:b控制色相（就是红的，还是粉色的意思）。
用R,G,B对点A上色，得点A",构建x对点A"的轨迹，选中轨迹按下ctrl+T，就会追踪这个轨迹。
最后运动参数Y,就会扫描出J集合的等势线CT(contour line)。
说明：ct线的粗细由两个因素控制 ，这从理论部分不难看出
1.h参数。2。初象z和z’的接近度，它们的接近度等价于zn和zn‘的接近度(一致连续的原因)
，这又归结到迭代次数n和m的接近度。
3.n-m≠0时，|zn-zm|会出现明显的差距，J集合的图形很另类。或者说将得到一张粗放形的等势线逼近J集合的图。
高亮只是单点迭代，算法与这里类似，ct线要用双点迭代。ct线要求内存比较高。迭代次数不必取的过高，因为，迭代到一定的次数点就稳定了，在迭代下去没多大的意义，只会耗内存。迭代到一定的次数稳定后，就zn的点的轨道可以看到极限圈，差不多就算稳定了。这时减慢扫描速度，提高扫描线数是可取的方法。
简单的总结：J集合进行双点迭代时，势与势差的关系为Δz[n+1]/Δz[n]≈f"(zn)=2|zn|,
势差(PD)是一个非常有用的量，利用同一个点列的前后项的PD差，可以创建月球表面的那种J集合图，利用同一个点列的PD之比可以创建另一种风格的J集合图。作J集合离不开距离，对距离的变形使用是上色的关键。势差~近似，就是这篇文章的关键词。
------这个方法叫势差法（potential deference--PD method）是比较合理的-------------完END.
  补充说明：今天早上起来，感觉理论上还得补充一点点才完备：
||zn|-|z'n||这才是势差，为什么把|zn-zn‘|当势差呢？因为：
||zn|-|z'n||≤|zn-zn‘|→0（|z-z’|→0）.
这说明|zn-zn‘|是准确的势差||zn|-|z'n||的很好的近似。






这个文件完整的包括了代数法的基本构架。双点迭代用7b-fractal tool包中的工具Julia set'重复使用两次就可以构建这种迭代。

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把双点迭代改成单点迭代，放大局部后。。。

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关于Δz[n+1]/Δz[n]的一个命题证明：
设f(z)=z^α+c，,z,z'为任意两复数，对z迭代：z，z1=f（z），z2=f（z1）=f^2(z),...,
zn=f(z[n-1])=f^n(z),对z‘作类似的迭代，规定Δz[n]= Δzn’-Δzn，
则Δz[n+1]/Δz[n]=(f(zn')-f(zn))/(zn'-zn)=f'(zn+t*Δzn)（0≤t≤1），
设f‘（z）的不动点为u，即α*z^(α-1)=z的根为u，如果点列{zn}收敛，则n→∞时，
f'(zn+t*Δzn)→f'(u).从而有：
n→∞时，Δz[n+1]/Δz[n]→f’（u）。
特别的：||zn‘|-|zn||为势差，而：||zn‘|-|zn||≤|zn’-zn|→0（|z-z‘|→0），
所以|Δzn|=|zn’-zn|可以作为势差（PD）的估计。
另f=z^2+c时，f’的不动点u=0，此时Δz[n+1]/Δz[n]=z[n+1]/z[n]→f’（u）=0(n→∞)。
从而|Δz[n+1]/Δz[n]|→0（n→∞），这说明当迭代次数充分大后，Δz[n+1]/Δz[n]比是压缩的。
因此可以直接用这个比值上色。
Δz[n+1]/Δz[n]这个比值也可以这么写：
Δz[n+1]/Δz[n]={z[n+1]'-z[n+1]}/{z[n]'-z[n]}
={f(z[n]')-f(z[n])}/{f(z[n-1]')-f(z[n-1])}
有的学者把这个叫距离之比DR. 这里的数列不是普通的数列，它们是函数列。
其实根本就是势差分析，做势差分析是可以用Taylor展示，展到前三项，这样接近度更好
，还可以用三角级数（做为F级数的替代品）展开势差。

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一。调色板构建
1.r，g，b的混合比确定色相，如r:g:b=1:0:0=红色，r:g:b=1:1:0=绿色等等。
2.再引入一个参数F，这rF,gF，bF的比值还是等于r:g:b,当引入F后，就可以改变同种颜色的明度。
比如r:g:h=1：1：0=绿，由于F的引入，就可以改变绿色的明度。随着F的值的变化，颜色始终在绿色系列里面变化。
这个F=|φ（zn）|。
3.如果令rF1，gF2，bF3去对应R,G,B,由于这是F1，F2，F3是三个不同的参数，此时r:g:b就确定不了色相了。此时难有规律可言，靠运气上色了。
4.确定参数F的取法，是值得关心的问题。
F常常可以取dist=sqrt(xn^2+yn^2),sin（dist），arctan(yn/xn),|zn|*|Δzn|（这个量叫PD），
arctan(yn-y[n+1])/(xn-x[n+1]),由于颜色面板的色宽设置成了【0,1】，所以上面那些值通常都要去绝对值。如果作图的人保密，看的人是难以猜出别人是怎么上色的。
5.令Δz[n]=z[n+1]-z[n]与势差相关，z[n]有势相关，它们的模和幅角都可以做为上色的参数，这就是上面的两个正切的来源。
  在同一个色相里面变化颜色，颜色的调子是比较统一的，但是有缺点就是显得比较单一，这并不是坏事。
6。对F的构建还可以这样
  上面的上色方式，可以统一的用公式表示为X=t*F(Zn)。X对应标准色带一个位置，还可以像这样构建F：F+α（Zn）就是给F加上一个小小的修正值。
  R=r*（F(Zn)+α（Zn））
   G=g*（F(Zn)+α（Zn））
    B=b*（F(Zn)+α（Zn））
参数α（Zn）∈[0,1],α只要有点点细微的变化就可以实现跨越色相，实现一种眼花缭乱的颜色变化。跨越色相要有个度，色相多了就是乱。α可以取成周期函数，这样跨越色相就是周期性的过程了。从而达到了控制色相总量的目的，色相少了单调，多了就是乱，周期函数刚好可以解决这个度的问题。这就是为什么要用对平移因子通常使用周期函数的原因所在。构建F还可以引入trunc函数，把色的明度分成几大类，就象这样：设dist=sqrt(x^2+y2),如果把色的明度设置成10个等级，就可以这样算trucn{[dist/10-trucn（dist/10）]*10}(这个算式与画板你设置的精度有关，要做相应的修改)。下面的彩图就是这么做出来的，实验上色的明度等级不能太多，多了效果也显示不出来。另外，上色还得要注意值域是否超过主值区间，因为进入常色区间后色彩就没变化了。不注意这点就会发现实验结果和这里所说有的内容不吻合。
二。调色板的构建有很多，但是万变不离其中，要么在同一个色相里面变化颜色，要么就是从一个色相跨越到另一个色相。构建调色板，必须坚持原则:拒绝运气色！原因很简单，如果你构建的调色板是靠的运气色上色，这样的调色板你根本就没法控制它，最终导致调色困难重重，或根本就无法调试色彩。
三。关于HSV的调色板
   色彩学有公式实现：rgb颜色与hsv颜色参数的转换，这就是说只要构建了RGB的调色板，这个调色板同样可以用来完成HSV的上色。既然RGB和HSV的参数色彩学上有公式联系他们，这就是说这两种上色可以认为并无本质的差别，只是RGB更电脑化一点，HSV更接近于生活一点。
四。我就是这样使用调色板的，我不知道别人是怎么使用调色板的。
五。我特别希望玩分形的人多说点自己的看法，错了不要紧，反正都是玩，错了改过来就行了。我就是这么想的，如果我发现我今天写错了，改天我就会订正。科学的东西就是这样在不断的订正错误中前进。没有错误和失败，永远都不会有创造。分形从认真专研到现在半过多月了，我感到分形的关键是算法。
到目前为此：代数法的逃逸时间esct还只是用来挖环，我还没发现esct的特别的用法。也许时候未到。
六。简单的小结
  说了这么多，我的调色板可以用一个公式总结成：X=a*（F+b）,其中因子a*F控制同一个色相内的变化，平移因子a*b控制跨越色相的变化，b的控制是比较难的。我理解我的上色方法是r，g，b之比确定类（色相），而F确定同类中的各种颜色（同类中的各种颜色可以用trunc函数划分等级生成跳跃上色）。一句话：类中类的架构。
我只给出了我的方法，没有给出具体的算式，因为分形这个场景会给人无限的想象和发挥的空间，用创建调色板的原则去创建自己的调色板，那才好玩，分形才会显得个性张扬，多姿多彩。
  
  

注：上面的彩图是单参数上色。

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付：着色公式的构架为a*F,这种思路来自于逃逸算法的逃逸域。震荡控制技术是通过控制扫描点的轨迹来控制色彩的。中间的布尔运算是关键：boolean=sgn（sgn（a）+1），其次三角函数的周期不能太大，太大了震荡不起来。
可以把震荡嵌入到其它分形中，也可以把控制震荡的技术抽取出来单独控制其它分形。

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上图未加入震荡因子，光照是比较均匀的。

上图在三个域内各加了一个震荡因子，和上一图比照光照就比较明显集中。
这么看来利用震荡域，模拟光照，可以创建立体图形。只是应该把震荡中心放在域外，如果把震荡中心放大域中，就会出现震荡洞。上面的最后两图，设置了3个域。域的中心是第一幅图的那三个位于极限圈的亮绿色的点。在下面的文件里面可以看到。
1.具体做法是：先分别进行单参数上色对R,G,B分别上色，调式好后删除
2.叠加它们 即有，DR=R+G+B，接着进行三参数R,G,B上色，稍调试就得上面的图。
重新令R=r*DR,G=g*DR,B=b*DR,我的调色板，我都写在上楼的，按上楼的调色板做就可以出来。
3.调试好后分别对单参数R,G,B加入震荡因子，这样就可以创建有光照的3D图形。
4.如果不进行域叠加，直接用R,G,B上色，颜色的种类到是多，得到的是另一种有立体感的图。
5.中间用到了逻辑变量。黑色是逻辑变量控制的结果，我还是没有找到逃逸时间esct的用武之地。时候也许还未到。震荡中心总是可以取到域外的，而且震荡中心的位置可以认为的定，它就是光源的中心。
每个域的半径用点来控制，以便调试半径的大小。域的中心选在极限圈上效果最好，因为J集合要显示的是收敛点的图，如果中心不再极限圈上，就会出现嘿嘿的一遍。震荡的用处还马虎，可以用。
另外还可以进一步设置光照半径。

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从控制震荡域的范围，强度中提取的方法，该法与分形无关，是对扫描轨迹上色的一种方法。
下面的文件就不是分形，是用来演示域（area）叠加技术的原理文件。图片是详细做法。
T1:

T2:

除不除r1都可以，通常在应用时都要对area1乘个系数修正它，所以除以r1并不是关键。
图中心的亮蓝色的点a是认为添加的，不是轨迹的色图。
T3:

T4:

T5:

T6:

注：关键词~域，域半径，域中心，光照因子，光照中心，光照半径，逻辑变量。背景总是对应着色参数的0值，所以R,G,B单参数上色时背景为红色，三参数上色时背景就是黑色的，通过平移参数可以改变背景，也可以通过无穷大消除背景。轨道方程：sqrt[(x-xa)^2+(y-ya)^2]=v叫轨道方程，它决定色的走势。改为椭圆sqrt[2(x-xa)^2+(y-ya)^2]色的走势就是椭圆，该为角表出
arctan{[y-ya]/[x-xa]}色的走势就是以点（xa，ya）为中心的线性走势，该为sqrt[(x-xa)^2+(y-ya)]色的走势就是抛物线走势，所以把这个方程叫轨道方程。轨道方程同时解决了扫描法绘制函数图象的问题。用角度做为变量可以形成线性光照因子。

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注：遮罩就是罩住的内容显示，没罩住的内容就不显示。特别注意，第二个域的中心设置成
a，b更好，这样：r-sqrt[(x-a)^2+(y-b)^2].这是第二个域动，遮罩不动，也可以设置成遮罩动，
域不动来显示内容。
http://www.fractaldomains.com/2011/08/colorfulness-1/

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高亮技术HL:

下图是HL技术和域（Area，2个域）叠加技术结合生成的图形
域直接屏蔽了等势线。高亮（high light~HL）会有光泽的效果。
域的中心必须选择在极限圈上，否则就是黑黑的一遍。
高亮原理：{zn}这个序列在n充分大后，假设收敛（事实上我们平时绘制的就是J集合收敛点的图，尽管J集合的点不都是由收敛的点组成，但是收敛点的图是J集合的最好的近似，我们只能绘制J集合的近似图），那么对充分大的n（迭代次数）来讲，zn和z[n+1]会充分接近，
故差zn-z[n+1]会很小，此时zn的前后项，要么位于同一个等势线上，要么跨在不同的等势线上，因此zn-z[n+1]的模要么
是o，要么非0，根据解析函数的最大模原理，必在边界上取到最大模，所以边界会高亮。
由无穷小分析知道z[n+2]-z[n+1]≈f'(zn){z[n+1]-z[n]}=2zn*{z[n+1]-z[n]}.
用这种方式上色，迭代次数n必须充分大（实际上较大就可以了），对于小n值是不能体现其特色的。
由于我的上色公式是：R=r*F,G=g*F,B=b*F,色相由r:g:b决定，所以上色是可控上色.

xuefeiyang

先掌握点基本的分形图形学的技术，在此基础上再探究。

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2012-11-14 10:55