myzam

代数法中M集合去掉外部环的方法：
首先得说清楚代数法的迭代过程：
1.（x，y）经相似变换x'=boolean*x,y'=boolean*y得点x0，y0
2.x1=x0^2-y0^2+c1,y1=2x0*y0+c2
这是第1次迭代记判断值为boolean1.但一个点的迭代象超出逃逸圆时，这个点马上被变换到了原点
（0,0）。然后从原点开始新的迭代，所以运算速度是比较快的。
3.但对于M集合比较特殊，因为M集合的起始点是(0,0)，所以还要计算2个判断值
boolean1=sgn(sgn(2-sqrt(x1^2+y1^2)+1)，
boolean2=sgn(sgn(2-sqrt（x^2+y^2）+1).
最后在着色时加入0/boolean1,0/boolean2（加入这个可以同时去掉两环，当然要把原来的轨迹删除了，从新构建轨迹相当于电脑里面的刷新）,就可以去掉外部的两个环。

注意：1.J集合外部的两个环只要用0/boolean,0/boolean1就可以去掉，这是和M集合的细微的差别。
2.boolean是布尔代数创始人名字，表示逻辑判断。它的值就是两个0和1.
几何法中的这个逻辑变量是p=（1+sgn(2-sqrt(x^2+y^2))）/2,这种写法有个缺点就是点在边界上时p=0.5.所以p值不是逻辑值，当然这种写法不影响运算。
3.最开始我一直想在代数法中引入et，但我选择了放弃在代数法中引入et。我虽然不太明白et的妙用，但是我觉得，至少说我没有感到代数法的使用上，我必须要用et。而且在代数法上引入类似几何法的et是比较困难的。而逻辑变量到是一个很好用的量。
这里的逻辑变量boolean都是按如下法定义的：a≥0时，boolean=1，a<0时，boolean=0，定义方法如下：boolean=sgn(sgn(a)+1),当然也可以用我的逻辑工具包里的逻辑工具直接求算。
4.为了去掉最外面的环，我真走了弯路，就是老想用用几何法的逃逸时间，要是一开始我就直接用逻辑变量去作，这个去掉外环就很简单了。人有时就是一根筋。呵呵。
  分形就是穷折腾，没有外环想外环，有了外环去外环。外环都去玩了那还要全屏干吗？答曰：俺们就喜欢折腾，折腾好了就毕业了。
距离作图二：


d
(这个图去掉了等势线，原理方程x^2+y^2=r决定色的走势，改变它！)


点（x，y）的走势决定色的走势，环状的色意味着点走圈装，如果把点的走势更改为双曲走势，线性走势色的走势也差不多是那种走势。
环是有基本方程x^2+y^2=r^2导致的，改变它，必可以改变色的走势。这一点给了我们玩分形自由发挥的空间。
千变万化等式线上色是基本功。
等势线上色可以统称为距离上色---D法（distance）。在用分形的图探讨问题时没必要把精力花在把图做精致上面去，最关键的是图能说明原理，图是不是验证了自己的想法。不断的验证自己的想法就会进步。
为了避免混乱代数法记号约定：距离：用dist（distance）表示。
点的坐标用：xn，yn表示，n=迭代次数
点用：A,An，C，b，bn表示。
距离比用：dr（distance ratio）表示
单参数着色：用H表示着色参数
三参数着色：用R,G,B,或H,S,V表是参数，用r，g，h表示颜色的混合比，或用h，s，v表示H,S,V的比值。
逃逸时间：esct（escope time）
fractal-tool工具包：主要是三个工具一个是逃逸时间计算工具esct，一个是反点计算工具invers point。还有就快速显示不同的c对应的J集合的工具（迭代次数控制到6以下，这时有点4(2^6+1)=260个点），避免盲目乱输参数。

myzam

20# xiaongxp
1.用参数控制色彩，和你们用线段控制色彩那个快，我还真的不知道。我只是想既然几何画板提供的就是参数控制色彩，所以我就想尽量用系统的东西，我想尽量的用系统的东西会减少运算量，会提供运算速度。我迭代到2000次，放大到100万，我的单核机子还可以走。我想代数法是比叫快的。
我用参数控制一切主要是为了书写变换方便，而且写完了运算分形的扫描全都具备了，不用另外添加东西，我控制色彩都用参数其实是用原象的，是便于把一切加到原象上，而象我可以很方便的放进行处理。相当于原象是核，我只要控制好核，就可以了。用参数控制色彩主要是构思自然不需要特别的训练，源文件容易转手给别人，别人容易看懂。你最有发言权几何代数两法你都会。如果从普及分形的角度看，我就要大力推荐初学则学习代数法。因为这种方法便于交流。传统的方法有许多优点，但缺点也不不少，起码拿着源文件很短的时间内初学者是整不懂文件的的。
2.真不好意思，你们的源文件我没有完全搞懂一个或者说我几乎看不懂，主要是我对你们的用的框架一无所知，如果不是你耐心的给我解释et是什么，到现在我也不清楚你们的et是什么意思，逃逸时间我知道，但是就是过去一直没懂你们的et是什么，到是看到了xue的全屏的文字意思，我就直接做了，做时也没多想。一次就成功了。取环上受et的影响反而走了弯路，后来我放弃了算et，直接用逻辑判断，去环就直接成功了。
3.我的算法是逃逸时间算法。只是我没有et的计算公式。因为求出的是et的最后值，对我没多大用处。
4.我用变换把跑到逃逸域外的点拉回到原点，这和拉到其他的地方无本质的差别。
5.上色问题我的处理思想是：因为势可以理解为阶梯性跳跃的函数（指J集合，当然在在M集合中势关于C是连续的，所以处理M集合的上色要比处理J集合的上色约为简单些），我就是要想办法让势连续变化，不要跳跃，这样就可以让色彩连续变换，以就是你说的平滑过渡。所以我就用势/初相距离，或用势力/第一次迭代象的距离，这两个变量都是连续变量，用它们上色就可以实现色彩的过渡。
6.你们的et用来上色我听你说，我理解的意思就是把势连续化，从而实现你说的平滑过渡。要实现平滑过渡不一定要用et。
7.由于绘制J，M集合，我们关注的是它们的收敛点的图，如果迭代的点列是z1，z2，。。。，zn，。。。，如果这个序列有收敛的子列，那么这个子列的后像距离与其前项距离的比几乎是压缩的，即z[n]/z[n+k]=a<1.而这个量是连续的，值∈[0,1],这特别好，只要把颜色面板的色宽设置成【0,1】就可以方便上色了。特别地可以把后像距离与前项距离的比用z[n],/1,或z[n]/z1,或z[n]/z2,z[n]/z0代替。实验的结果是效果还是不错的，而且运算速度也不错。而且这种方法可以把内部和外部较好的对接起来，原理也不复杂。还有一点：分形的IFS定义我看到是这么说的的：一组压缩映射的吸引子通常就是分形。这说明距离之比几乎小于1有着理论支持。
8.你所的像素上色法，我真的不知道是怎么回事，你能说详细点吗？我对分形就是瞎琢磨，如果都弄明白了分形我就不玩了，因为那时分形就不好玩了。呵呵。老巷的东西多。我想听听你们的上色法，我真的无法看懂你们的文件，主要是框架恰注我的，我基本不知道你们的框架那么是干什么用的。

myzam

关于代数法的逃逸时间（escope time）如何创建~逃逸时间可以是负数：
假设迭代次数是n=100，这第一环对应的esct=-100，第二环对应的esct=-99.
而相似变换的比boolean=0时，对应最外面的圆之外的部分。
代数法中使用逃逸时间还不如直接使用判断值方便。计算出前两次迭代的判断值就可以了，这样既方便，也大量的减少了迭代次数。
到此代数法已经可以很好的完成分形绘制了，剩下的就是丰富算法了。基本的算法在上面已经贴出来了。对于分形的入门足够的多了。
上面的碧云山庄图，就是用0/(esct+100)+0/(esct+99)去掉外环的。逃逸时间为负值，完全出乎我的意料之外。不过想想也合理，
因为代数法是点到达边界后被拉到了原点，从此这个点再也逃不出去了。迭代次数为100次，这个点就在区域内迭代100次，从不会跑到区域外面去。所以逃逸时间只能是用负数表示。真是没想到代数法逃逸到边界的时间居然可以是负数，合理，这合理。
逃逸时间请用上21楼的7b-fractal tool包中的工具完成，当然也可以直接求算。一般不要提前算，要用时才算，以减少运算量。
最后感谢老巷老师一再建议和介绍逃逸时间，所以才最终在代数法中推算完成了逃逸时间临界值的计算。
此外代数法的逃逸时间有如下四个取值：
假设迭代次数n=100，那么逃逸时间esct=-100，-99,0，1.
到处几何法的参数代数法都全有了。几何法能做的事情代数法都可以完成了。
付：逃逸时间计算公式：t=0-->t+1(n=迭代次数)，完成迭代后取代如下：t被boolean1取代，
1被boolean2-1取代。或者说迭代关系是为boolean1，boolean1+boolean2-1，。。。.
值对应0,0对应-1，-2，-2，。。。
      1,1对应1,1,1，。。。。
      1，0对应0，-1，-2，-3，。。。。
      0,1对应0,0,0,0.。。。
也就是说用迭代次数n+esct=0,1,...习惯，这个值就对应一环，二环。
============下面是正逃逸时间推导====现已经把逃逸时间改为了正数==============================
由于几何法已经习惯使用正逃逸时间et为了配合几何法的et，现在把代数法的逃逸时间esct更改为正逃逸时间：
构造方法：t1--->t1+1(n为迭代次数，就是J，M集合使用的迭代次数)，完成迭代后进行如下取代:
t1---用boolean1取代，1---用boolean2.即可。
逃逸时间用esct（escope time）表示。由于初始值分别为(0,0),(1,1),(0,1),(1,0)所以逃逸时间分别对应四大类。
其中esct=0对应1环，esct=1对应二环，这样就和几何法的逃逸时间一样了。但是有一点不同，几何法的逃逸时间最大值通常比迭代次数n小的多。
但代数法的逃逸时间最大值可以是：n+1，最小值可以是0.原因是代数法的逃逸时间可以是无界的量。
工具在21楼的fractal tool包中。负逃逸时间也被我删除。取调一环，二环其实直接用逻辑变量boolean1，boolean2就可以了。代数法的逻辑变量要注意前三个，它们分别对应最外面的三个区域。
最后再次感谢老巷提供逃逸时间的概念。
小结：
1.到此代数的构架全部完成。利用代数法可以进入分形的天地了。
2.几个重要的概念：
逃逸时间esct，逃逸域（通常是圆，可以变为其它的如带型），各种距离dist，距离之比dr，震荡变量osc，震荡域，震荡半径，极限点，周期圈。
逻辑判断boolean（如果你不像每次都求算，可以用7b-logic tool中的布尔值求算工具完成）。
反点inv。∞，undefined，
象距离dist，初象距离dist0，边界距离esc，势的概念，势的跳跃性和势转换为连续变量，等势线(equipotential line，一般等势线为contour line---CT)
从另一个角度sqrt(x^2+y^2)=r就是上色时点（x，y）的轨道方程，它决定了色的走势，是圈状还是线性，多大的圈，圈的范围在哪里。更改方程当然会出现不同的效果。
还有就是简单的着色知识三原色，复色，间色，饱和度，明度，色相。冷热色调，补色的概念，关于色的概念大致了解一点就可以了。主值区间，色宽，常色区间。有的名字是我创建的合不合理不要紧，有个名字便于交流。各种距离上色（D法）
3.R,G,B(或H,S,V)的构造：
R=rF,G=gF,B=bF,F关联到象点的距离，这样r，g，b之比就可以调试色彩，这只是基本结构，可以变化，不过这个模式是很好控制色彩的，如果曾经画过画的人，一看就明白道理。
F常用三角函数，或三角级数，负幂级数，trunc函数（周期性跳跃），x/T-trunc(x/T)值域为0~1间变化的一个周期函数。对F的平移，对F的伸缩都是常用技巧。常常绘制出F的函数图象配合色宽控制上色。上色时有时还要大致估计有没有极限点（就是f^n(z)的不动点），极限点常用来测试距离，并可以完成对极限点的强调突出。在J,M集合的外部加环，并设置环的大小数量，位置这是osc震荡完成的。
学习分形就从最基本的距离函数按上面的模式上色入手。
基本配色公式：R:G:B=1：0：0=红，R:G:B=1:1:0=绿色，了解点这种知识是上色必须的，我的这部分知识是我读书时学美术学的。我从小学到大二一直在学美术。
我的体会
学习分形开始千万要回避那些复杂的分形，入门越简单的例子越好，最好就是一个例子反复练，从不同角度练。分形的参数有x，y，c1，c2，dist，osc ，esct，dr，R,G,B就用一个例子把这些参数一个一个的变化，当你把每一个参数的变化都体会完了，分形就入门了。更好的方法是先抛开分形，做一个直接进行扫描上色练习，然后在进入分形，这样学习效率更高。
学习分形要入门1小时的课时足够了。要做到熟练学什么都有一个过程。我把这些写出来是为了让后来的学习者能直接进入分形，不要去走弯路，在初学时把无谓的精力花在做复杂的花哨图形上去，偏离了本质问题的学习。分形上色的原理不复杂，创造靠你自己。如果不想深入的研究分形，对大多数人来说，D法足够了。此外不要迷信esct的作用，它不是万能的。
遗留问题：现在我的上色停留在空间坐标系的z轴退化成一点的情况下上的色，这个空间坐标系装在我的心里，是一个虚拟的坐标系。现在想探讨一下虚拟的空间坐标系的z轴不退化成一个点时如何上色？
回顾：
我为什么用代数法？记得几年前，我在中国画板网就发过M集合的扫描，那就是我的第一个分形，后来我再也没玩过分形了，后来我发现几何法创建框架就麻烦，偶然我就试试代数法，发现代数法直接就可以扫描，而且不用多构思什么，就按自然的想法就完成了扫描，所以我觉得代数法扫描没有“技术”含量，每一个人看一眼就会。后来我就拿着试试，居然成功了，刚开始我使用的是H,S,V上色，因为H,S,V的含义能比较容易的和距离挂钩。当H,S,V成功后就推广到R,G,B.整个探索的过程体现了特殊到一般的思想。探索比知道结果更有乐趣，玩几何画板我理解就是打麻将，都是玩。

xiaongxp

20# xiaongxp
你所的像素上色法，我真的不知道是怎么回事，你能说详细点吗？……我基本不知道你们的框架那么是干什么用的。
myzam 发表于 2012-11-4 22:42

计算机绘图的过程，就是对屏幕特定区域的每一像素点定义颜色的过程。扫描框架就是为屏幕划定这个绘图区域。我们先在屏幕的任意位置作一独立点，它的坐标占据一个像素，将终点z[et]的色相定义在上面，它便是一个迭代路径的起点z[0]。将此色相变换到扫描线上，扫描线上的每一个像素点都是相应迭代路径的起点，如果其采样数是500，它便对应500条迭代路径。随扫描线的跟踪移动，就将扫描框内所有像素点用相应终点色相赋以了斑斓的色彩，从而形成美丽的分形图形。

myzam

24# xiaongxp


哦，明白你的意思了。变换是种思路。这个我还是比较熟悉的。但是那种方法更快，要做了实验才知道了。

myzam

用势上色，为了使色彩渐变，就要把势连续化，上面的求的的esct是跳跃的，如果在推导esct时，
加入连续的因子，得到新的esct，把新的esct再和象距离配合，就可以把势改造成连续的变量，这样的思路去上色会怎么样？

myzam

逃逸时间变量esct的临界值
假如迭代次数n=100，此时esct的最大值=n+1=101.
这个临界值是使用方法是：
0*sqrt(esct-101)与0*sqrt(101-esct),这样使用可以挖去环。
另两个值的使用方法是：0/esct,0/(esct-1).
把它们加到R,G,B的一个参数中就可以挖去环。
101临界值也能这么使用：0/(esct-101).
对于101临界值还可以采用对数挖环：象这样0*ln(esc-100)等等。

myzam

关于逃逸时间的再说明
1.看看esct的推导过程
t1=1，t2=t1+1，J集合的迭代次数是n，迭代关系为t1-->t2=t1+1,
迭代完后t1用boolean1取代，1用boolean2取代。
这里的boolean1是J集合的第一次迭代象的逻辑判断值，boolean2是J集合的第2次逻辑判断值，它们的作用就是判断点(x1,y1),(x2,y2)是否跑出逃逸区域。
计算公式为boolean_i=sgn(sgn(2-sqrt(x_i^2+y_i^2)+1)) (i=1,2,3,...).
所以当J集合的(M集合也一样)的n=1时，esct也被迭代了2次，当n=2时，esct被迭代3次算出来。
所以当n=100时，esct的最大值就会出现为101，这就是esct的最大值是n+1的原因。
结论：当J集合的迭代次数是n时，逃逸时间esct是通过n+1次迭代算出来的。
由于boolean1，boolean2的值由四种可能0,0；1,1；1,0；0,1，
从而esct的值有四类。其典型值为esct=0,1，n+1.这是它的三个最典型的值。
相似变换的判断值boolean=0对应最外的区域，esct=0或boolean1=0对应1环，esct=1或boolean2=0
对应2环。
2.点列{An}的周期性说明
猜想：设f(z)=z^2+c,c=c1+c2*i,构造序列{zn}，其中z0=x0+y0*i,z[n]=z[n_1]^2+c,
当c固定时，序列{z[n]}为一周期数列。(全屏迭代时)
例如：c=-0.73-0.3i时，序列{zn}的周期T=14.
由这个猜想出发可以看到逃逸时间esct可以改造成关于n的周期的函数，这个周期性未证明，只是一个实验结果。如果能证明那是非常漂亮的一个结论。能给出周期的计算公式那就更好了。这个周期性猜想可以简单的记成:z[n,c]=z[n+T,c]，或者说成：
猜想：代数法全屏迭代时，象点的轨道关于迭代次数是周期性轨道。
如果初始点确定为原点，跌代若干次后这个点跑到了逃逸域的外面，就会被再拉回到原点，开始新的周期性迭代，从而点zn的轨道具有周期性，但是其他情况如何证明？不知道就了。
这个猜想是重要的它关系到确定最后的临界逃逸点是谁。

changxde

这里简单的讨论了一些点的周期18#  

myzam

29# changxde
那些文章很好。谢谢。
把微分离散化称为差分，是计算数学的基本技巧。差分法（deference method~DM）解决的是计算问题，即微商的离散化，解决不了周期性问题。