Mandelbrot集可视化实验与思考

mjj_ljh

直觉和逻辑原则下的实践

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2012-3-5 16:33

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2011-12-16 11:25

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1、扫描框架篇：注：本篇参考了changxde,xuefeiyang,xyj200909,zxna等老师的作品。大序号文件可能用到小序号文件。

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6# dyk

每类文件至少有两个文件，目的就是方便大家交流。对于想学分形的老师这就够了。

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3# 榕坚
4# 柳烟

各种扫描框架我都做了，可按需加载，另一个方面通过框架制做复习其它知识，这些东西另有它用，这是最主要的。

mjj_ljh

2、定位与放缩篇：参考了changxde,xyj200909老师的作品。
可将扫描框架按需加载到定位与放缩文件中，方法是将扫描框架中的扫描中心和定位与放缩的扫描中心合并。

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10# xiaongxp


没有什么新内容，只是在学习大家的作品时，捋一下思路，重新温习一下而已。

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什么是Mandelbrot集合？
Mandelbrot集合用复二次多项式f(z)=z^2+c来定义，其中c是一个复参数。把z=0代入f(z)进行计算得函数值c，把此次函数值c做为自变量z新的取值代入f(z)进行计算得函数值c^2+c，再次把此次函数值c^2+c做为自变量z新的取值代入f(z)进行计算得函数值(c^2+c)^2+c……如此反复计算，我们把这一计算过程称为迭代，通过不断地迭代可以算出一系列的函数值。
将这一系列函数值用复平面上的点Z0,  Z1,  Z2, …Zn,…表示出来，现在我们考察Zn离原点的距离，即abs(Zn)，也就是Zn的模。如果无论经过多少次运算，即n趋向无穷时，abs(Zn)是有限的，即abs(Zn)不趋向于无穷，就说C点属于Mandelbrot集。反之如果经过有限次数的运算之后，abs(Zn)可超过任意给定的值，那么就说C点不属于Mandelbrot集。所有这样的c组成的集合叫做Manddelbrot集。
一个给定的复数c或者属于Mandelbrot集合M，或者不属于。比如，取c = 1，那么这个点列就是(0, 1, 2, 5, 26, ...)，显然它的值会趋于无穷大，所以１不属于M集；而如果取c = i，那么点列就是(0, i, -1+i, -i, -1+i, -i,...)，它的值会一直停留在有限半径的圆盘内，所以它就属于M集。

mjj_ljh

思考（请板友帮我）：
1.        M集就是当n趋向无穷时，abs(Zn)不趋向无穷的所有c点组成的集合，也就是使点集（Z0,  Z1,  Z2, …Zn,…）有界的所有点c组成的集合，如何证明这里的不趋向无穷和有界的等价性？
2.        如何证明点集（Z0,  Z1,  Z2, …Zn,…）有界性等价于abs(Zn)小于等于２？也就是如何证明M集中的c分布在半径为２的圆盘内呢？
3.        点集（Z0,  Z1,  Z2, …Zn,…）有界性和收敛性不同，使点集不收敛的点c在M集的分布情况如何？使点集收敛的点c在M集的分布情况又如何呢？
4.        在M集和非M集之间，分界线在哪里？有没有一个明确的界线，将M集和非M集划分开来？或者说，能明确地给出这个界线的解析式吗？又或者说，有没有一个明确而简便的方法，使我们可以对任意一个复数C，给出其是否属于M集呢？
5.        如果没有这样的简单方法，也没有这样明确的界线。对于一个给定复数C，是否除了实际验算，就无法给出明确的答案呢？
6.        就算根据前面的定义实际验算，结论也是复杂的。如果经过一定次数的迭代运算，Z的绝对值超出了设定的常数R。那么很好，这个C不属于M集。
但也有可能，就算经过10000次运算，其绝对值还是很小。那么，就可以说C属于M集了吗？不一定！有可能，在接下来的10001次或以后，就可以发现Z的绝对值超出了R。
按理，上述迭代过程是个非常确定性的过程，而且很简单。所以，对于任意一个给定的C，其是否属于M集，应该是确定的。但实际上，对于某些C值，我们有可能无论经过多少次迭代，都无法给出结论，而我们又不能说，这个C就不属于M集了，因为说不定增加迭代次数，就发现超出R了。我有点迷茫和困惑了，这就是混沌吗？
７.　　　　M集是开集吗?

mjj_ljh

14# 榕坚

8.如何证明M集和实数R集的交集是：[-2,1/4]呢？也就是当c是实数时，以上点集有界的充要条件是c属于[-2,1/4]。

mjj_ljh

18# 柳烟
将c乘以一个绝对值小于１的实数如１/3着色扫描。