mjj_ljh

10# xiaongxp


没有什么新内容，只是在学习大家的作品时，捋一下思路，重新温习一下而已。

mjj_ljh

什么是Mandelbrot集合？
Mandelbrot集合用复二次多项式f(z)=z^2+c来定义，其中c是一个复参数。把z=0代入f(z)进行计算得函数值c，把此次函数值c做为自变量z新的取值代入f(z)进行计算得函数值c^2+c，再次把此次函数值c^2+c做为自变量z新的取值代入f(z)进行计算得函数值(c^2+c)^2+c……如此反复计算，我们把这一计算过程称为迭代，通过不断地迭代可以算出一系列的函数值。
将这一系列函数值用复平面上的点Z0,  Z1,  Z2, …Zn,…表示出来，现在我们考察Zn离原点的距离，即abs(Zn)，也就是Zn的模。如果无论经过多少次运算，即n趋向无穷时，abs(Zn)是有限的，即abs(Zn)不趋向于无穷，就说C点属于Mandelbrot集。反之如果经过有限次数的运算之后，abs(Zn)可超过任意给定的值，那么就说C点不属于Mandelbrot集。所有这样的c组成的集合叫做Manddelbrot集。
一个给定的复数c或者属于Mandelbrot集合M，或者不属于。比如，取c = 1，那么这个点列就是(0, 1, 2, 5, 26, ...)，显然它的值会趋于无穷大，所以１不属于M集；而如果取c = i，那么点列就是(0, i, -1+i, -i, -1+i, -i,...)，它的值会一直停留在有限半径的圆盘内，所以它就属于M集。

mjj_ljh

思考（请板友帮我）：
1.        M集就是当n趋向无穷时，abs(Zn)不趋向无穷的所有c点组成的集合，也就是使点集（Z0,  Z1,  Z2, …Zn,…）有界的所有点c组成的集合，如何证明这里的不趋向无穷和有界的等价性？
2.        如何证明点集（Z0,  Z1,  Z2, …Zn,…）有界性等价于abs(Zn)小于等于２？也就是如何证明M集中的c分布在半径为２的圆盘内呢？
3.        点集（Z0,  Z1,  Z2, …Zn,…）有界性和收敛性不同，使点集不收敛的点c在M集的分布情况如何？使点集收敛的点c在M集的分布情况又如何呢？
4.        在M集和非M集之间，分界线在哪里？有没有一个明确的界线，将M集和非M集划分开来？或者说，能明确地给出这个界线的解析式吗？又或者说，有没有一个明确而简便的方法，使我们可以对任意一个复数C，给出其是否属于M集呢？
5.        如果没有这样的简单方法，也没有这样明确的界线。对于一个给定复数C，是否除了实际验算，就无法给出明确的答案呢？
6.        就算根据前面的定义实际验算，结论也是复杂的。如果经过一定次数的迭代运算，Z的绝对值超出了设定的常数R。那么很好，这个C不属于M集。
但也有可能，就算经过10000次运算，其绝对值还是很小。那么，就可以说C属于M集了吗？不一定！有可能，在接下来的10001次或以后，就可以发现Z的绝对值超出了R。
按理，上述迭代过程是个非常确定性的过程，而且很简单。所以，对于任意一个给定的C，其是否属于M集，应该是确定的。但实际上，对于某些C值，我们有可能无论经过多少次迭代，都无法给出结论，而我们又不能说，这个C就不属于M集了，因为说不定增加迭代次数，就发现超出R了。我有点迷茫和困惑了，这就是混沌吗？
７.　　　　M集是开集吗?

榕坚

不敢想太多，能先弄明白M集内的实数点的最大与最小吗？也就是M集的边界与实轴的交点，。我估计它也只是一个极限值，如右交点：2，1，（-1+5^(1/2))/2,…………。

mjj_ljh

14# 榕坚

8.如何证明M集和实数R集的交集是：[-2,1/4]呢？也就是当c是实数时，以上点集有界的充要条件是c属于[-2,1/4]。

榕坚

我只知道(-2,0)属于M集。即C=-2时，点列为-2,2,2,2,2,……,最终收敛。

榕坚

问题2的理解：当Z=0，|C|>2时，|C^2+C|=|C|*|C+1|>=|C|(|C|-1)>|C|，故发散。不知是否理解到位？

柳烟

在下提一个问题，如何在M集的那个大乌龟肚内，再摆上一个小乌龟，形同怀孕？本人这两天弄来弄去，很不成气候。不知如何通过伸缩变换得到？

榕坚

对问题2的看法：应该只能说当|C|>2时，Zn是发散的，但|C|<=2时，有些Zn是收敛的此时C的集合形成M集，有些Zn是发散的，在逃逸时间法中要不断地拖回，此时C的集合为逃逸区。

榕坚

18# 柳烟


巷老师及常老师在这方面有作品了，还有之前UF中也有类似的作品，你不是弄了一个用两条扫描线的方法吗。