中科大少年班22位数移位问题扩展

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中科大少年班22位数移位问题扩展
彭翕成     pxc417@126.com   
武汉 华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心  430079


下面是中科大少年班的试题。
有个22位数,它的个位数是7。当你用7去乘这个22位数，它的积仍然是22位数，只是个位数的7移到了第一位，其余21个数字的排列顺序还是原来的样子。请问这个22位数是多少？
解：此题有两个难点。一是理解题意列方程，二是计算。
根据题意列方程7x=(x-7)/10+7*10^21，x=(7*10^22-7)/69= 1014492753623188405797。
如果我们进一步思考，当初这个题目是如何想出来的呢？
这个问题更难，更有意义。不知道当初谁命的题，其原始想法自然是无法得知了。题目涉及这么大的数，估计是数论方面的专家才有想得出来。

如果我们也想编制类似的题目，可以用计算机来帮忙。拓展如下：
有个n位数,它的个位数是m。当你用m去乘这个n位数，它的积仍然是n位数，只是个位数的m移到了第一位，其余n-1个数字的排列顺序还是原来的样子。请问这个n位数是多少？
分析：m=0，1，n=1时，这样的问题意义不大。譬如由n个1组成n位数肯定是符合条件的，但此解过于平凡。另外，我们假定位数n<30。
用超级画板编制程序如下：
for(m=2; m<=9;m=m+1)
{n=2;k=10;
while (n<30)
{x=m*(k-1)/(10*m-1);
y=Mod(m*(k-1),10*m-1);
if (y==0) {Text(-2,-n,x);}
n=n+1; k=10*k;}}
所得结果如下：
102564
102564102564
1012658227848
102564102564102564
105263157894736842
1014492753623188405797
102564102564102564102564
10126582278481012658227848
1034482758620689655172413793
我们随便找一个验证，都是符合条件的。譬如
10126582278481012658227848*8=81012658227848101265822784。
这些数也很有规律：102564好像是循环节一样，反复出现，也符合条件。我们完全有理由猜测，这一性质是普遍成立，找一个来验算一下：
105263157894736842105263157894736842*2
=210526315789473684210526315789473684 #
计算机为数学命题提供了新思路。更多的超级画板与数学命题方面的探讨，我们会陆续给出。

谢谢浏览。我的博文最好看我博客。因为很多格式都没了，分不清哪些是引文，哪些是论述。
欢迎大家来我博客交流。
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