xiaongxp

练习8. 带概率的IFSP-分形的画板实现(一)
       前面练习2-7中，每一个二维仿射变换(x,y)→(ax+by+e, cx+dy+f)，都由a、b、c、d、e、f六个参数确定，把确定IFS-分形的各变换中的这六个参数列成一个表，即为IFS编码，以桧树分形小枝为例：
                          

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2010-12-3 22:53

     如图，设每条线段长为0.34，水平线段AD长为1，AD与BC互相平分，AB、DC与AD的夹角为8°，BE与AD成45°，CF与AD成55°，作五个仿射变换，将主形A-D分别映射到这五小段上，其IFS码如下表：
               a              b            c            d           e           f            P
      W1  0.3367  -0.0473   0.0473   0.3367        0            0           0.2
      W2  0.2404  -0.2404   0.2404   0.2404   0.3367   0.0473         0.2
      W3  0.3266   0.0945  -0.0945   0.3266   0.3367   0.0473         0.2
      W4  0.1950   0.2785  -0.2785   0.1950   0.6633  -0.0473         0.2
      W5  0.3367  -0.0473   0.0473   0.3367   0.6633  -0.0473         0.2
其中最后一列P值为五个仿射变换在IFS-分形作用的概率。
    下面来作IFS-桧树小枝：
一、作概率轴
               

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2010-12-3 23:08

           
     如图，将线段AB五等分，等分点依次为C、D、E、F，在线段AB外任取一点P，调用“画板分形工具箱”中“左闭右开区间示性数”工具，作区间AC、CD、DE、EF的区间示性数m1~m4，调用“闭区间示性数”工具作区间FB的区间示性数m5；
二、作IFSP变换点w，其中初点为z(x,y)：
    变换点横标：(0.3367x-0.0473y) m1+(0.2404x-0.2404y+0.3367) m2 +(0.3266x+0.0945y+0.3367) m3+(0.1950x+0.2785y+0.6633) m4 +(0.3367x-0.0473y+0.6633) m5
      变换点纵标：(0.0473x+0.3367y) m1+(0.2404x+0.2404y+0.0473) m2 +(-0.0945x+0.3266y+0.0473) m3 +(-0.2785x+0.1950y-0.0473) m4 +(0.0473x+0.3367y-0.0473) m5
三、迭代成分形
    先将P合并到概率轴AB，作z→w，P→P，深度为n的随机迭代，显示为“完整迭代”，保存后变n=10000，得IFS-桧树小枝。
                 

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2010-12-4 00:24

xiaongxp

43# 柳烟
柳老师这么用心，一大早就干上了？
把迭代像的显示方式改为“完整迭代”就成了。

xiaongxp

再检查发现你的变换有问题，从作五个自定义变换开始重做，就正常了。

xiaongxp

练习9. 带概率的IFSP-分形的画板实现(二)
      IFSP-分形蕨是随机迭代函数系统分形的经典范例，确定它的四个仿射变换分别由矩形W0映照成矩形W1(几乎为线段)、W2、W3、W4来定义(如图所示)：
            

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2010-12-4 22:47

下面就以W1、W2、W3、W4来记这四个仿射变换，其IFS码为：
                   a          b          c                d        e      f         P
      W1        0          0          0               0.16    0    -0.04    0.01
      W2        0.85     0.04    -0.04           0.85    0     1.60    0.85
      W3        0.20    -0.26     0.23           0.22    0     1.60    0.07
      W4        -0.15    0.28     0.26           0.24    0     0.44    0.07
      注意，IFSP-分形蕨的概率轴上各分点不是等分点，反映出分形蕨在各方向上生长的不均匀性，这样对蕨草的模拟更为逼真。
    IFSP-分形蕨的作法仿练习8完成。
               

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2010-12-4 22:47

    另：在帖子《迭代函数系统IFS》里有形象逼真的IFS-分形树、摇曳不停的IFS-分形树与蕨的源文件，其IFS编码都附于文件中，下载后均可仿练习8作，以下不再赘述。


    下一练习将开始非压缩仿射映射迭代函数系统IFS的练习，其中包括诱人的圆的极限集的绘制。

xiaongxp

非仿射的压缩映射迭代函数系统IFS

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2010-12-7 22:21

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2010-12-7 22:21

xiaongxp

感谢柳老师指正“画板分形常用工具箱”中z^k的错误，现已在6#原位置更新。

xiaongxp

原位置再次更新了“画板分形常用工具箱”，新增了复数的模工具、辐角工具、距离工具、两个p示性数工具。

xiaongxp

练习10. 反函数迭代(逆迭代)法IFS-分形的画板实现
     分形具有局部与整体的自相似性，也就是说局部是整体的一个小复制品，只是在大小、位置和方向上有所不同而已；而数学中的仿射变换是一种线性变换，它正好具有把图形放大、缩小、旋转和平移的性质。因此，产生一个复制品就相当于对图形作一次压缩仿射变换。于是，从原则上说，任何分形图形都可以用一组压缩仿射变换来描述或生成。
     但是，如何求出分形的压缩仿射映射变换，提取其IFS码，这是分形几何学一直没有彻底解决的难题。然而对于一些较简单的整式或分式型迭代格式的分形，我们可以用反函数迭代法来构造其IFS分形，如练习1中“逆迭代圆IFS-Julia集”。下面再以“z→z^(7/4)+c“格式的分形为例，练习这种反函数迭代法的画板实现。
     反解z=w^(7/4)+c得w(m+1)=(z-c)^(4/7)*e^( i*2mπ/7)，其中m=0，1，…，6，从而得到函数迭代系统{W(m)：z→w(m)；m=1，2，…，7}。画板实现如下：
一、构造迭代格式：
     1．打开“复分形扫描线框架【可调小扫描线】”，删除点P、Q、T0、r、p0，将标题改为“逆迭代IFS： z^(7/4)+c→z”，改k的精确度为“十万分之一”，输入“4/7”；
     2．调用“画板分形常用工具箱”，先后用“z[1]－z[2]”工具和“z^k” 工具，计算出w1的横纵坐标，绘制点W1，并以坐标原点为中心，将W1递次逆时针旋转2π/7，得点W(m) ，m=2，3，…，7；
     3．度量出W(m)，m=1，2，…，7的横纵坐标后隐藏这些点；
二、构造随机变换点
     4．作七等分概率轴和点P，用“区间示性数”工具仿练习8构造示性数，m1~m7，计算变换点横纵坐标：
            

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2010-12-27 00:02

            

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2010-12-27 00:02

绘制变换点w；
三、迭代成分形
     先将P合并到概率轴后，作z→w，P→P，深度为n的随机迭代，显示为“完整迭代”，保存后变n=50000，得IFS分形图（建议c=4.5）。
                        

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2010-12-27 00:17

xiaongxp

练习11. Apollony分形的画板实现
      创建Apollony分形由三个相切的初始圆开始，第一步在三者间向内作一个公切圆，第二步又在其中任意三圆之间分别作三个公切圆，
              

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2010-12-31 17:43

   

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2010-12-31 17:43

……以此类推，经过n次重复(迭代)，得到Apollony分形：
                                          

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2010-12-31 17:43

      可以看出，Apollony分形呈现出三轴对称性，其中每一个圆都恰与周围三圆相切，我们可以将其看成是以其中任两圆为基圆将第三圆向内压缩而成，由此可知Apollony分形是由三个压缩变换(Moebius变换)生成，若分别以三点O1(1，sqrt(3))、O2(1，- sqrt(3))、O3(-sqrt(3) ，0)为圆心，sqrt(3)为半径的圆为三个初始圆，可以求出这三个压缩变换为：
                   W1：w1=3(sqrt(3)+1-z)^-1-sqrt(3)+1
                   W2：w2=w1·e^(i·2π÷3)
                   W3：w2=w1·e^(-i·2π÷3)
下面构建这个分形。
一、构造迭代格式：
     1．打开“复分形扫描线框架【可调小扫描线】”，删除点P、Q、T0、r、k、p0，将标题改为“IFS-Apollony”；
     2．计算sqrt(3)+1-z横标和纵标，调用“画板分形常用工具箱”中“1/z”工具计算(sqrt(3)+1-z)^-1 ，分别双击其的横纵标编辑为w1=3(sqrt(3)+1-z)^-1-sqrt(3)+1的横纵标，绘制点w1，并以坐标原点为中心，将w1递次逆时针旋转2π/3，得点w2、w3。
二、迭代成分形
      作z→w1，z→w2，z→w3，深度为n的迭代，显示为“完整迭代”，保存后变n=10，得IFS- Apollony分形。
                                    

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2010-12-31 17:43

      如果将Apollony分形以单位圆基圆施行三次反演变换，我们将看到一个更加美丽的分形——四圆极限集。下一次将开始练习圆的极限集的画板实现方法。

xiaongxp

在原位置更新了“画板分形常用工具箱”和两个扫描框架，感兴趣的板友请自取，如在运用中发现有什么问题，请不吝指正。
    在新年来临之际，祝本坛全体朋友们身体健康、事事如意，祝【画板论坛】来年更加红火，坛友千千万！