xiaongxp

练习3. 带对称左右生成元格式的L分形的制作方法
    前面通过对五角繁星的制作，我们介绍了简单进退格式的L-分形的制作方法。那么什么叫“进退格式”呢？按作画板L分形的经验，所谓进退，就是将生成元A-B按如图箭头的指向从A依次向前压缩（迭代）到生成元的各线段上，其中由B''到B'''后又后退到B''，再继续向前直到B，若保留虚线箭头B''到B'''的迭代，最后得到的是柳烟老师的专贴《看分形书，用画板作分形画小系列》１＃的分形Durer五边形，而去掉B''到B'''的迭代即得五角繁星。
                     

2010-11-27 16:27

      L-分形中存在许多带左右格式的生成元的分形，如龙曲线、Hilbert曲线、线型Sierpinski三角等。下面借助线型Sierpinski三角的练习，介绍带对称左右格式生成元的L分形的迭代方法：
一、作初始元和生成元A-B：
    如图，作两点A、B，以A为中心旋转B得B'(此点也可任取)，分别以A、B为中心，0.5为比缩放B'得B''、B'''，隐藏B'，顺次连接ＡＢ''Ｂ'''Ｂ，得初始元和左生成元（画板作L分形，对称右生成元效果可通过逆向压缩左生成元得到，所以可省去不作）；
                     

2010-11-27 16:27

二、生成元上执行一次迭代：
      新建参数n，以ｎ为度在AB''上逆向压缩左生成元(即Ａ→B''，B→A),在B''B'''上压缩左生成元（即Ａ→B'', B→B'''），再在Ｂ'''Ｂ上逆向压缩左生成元；
三、隐藏初始元和各点，增大迭代次数n，得线型L-Sierpinski三角。
     说明：由于分形集实际是n→∞时的极限集（即不动点），所以只与初始元和生成元的格式（代码）有关，而与生成元是点型、线型、多边形型、圆型等几何形式无关(将下面文件中n增大看看)，由此我们可以把生成元用三角形或圆等图形来表现，赋以斑斓的色彩。如前例，我的生成元分别用了线型和多边形内部，而xuefeiyang老师用了正五边形，正是用了多边形内部，第二个图才群星闪烁起来。

xiaongxp

20# 柳烟
谢谢柳老师。你制作时长这么久的视频文件怎么这样小，如何设置的？

xiaongxp

24# 柳烟
谢谢解答。

xiaongxp

练习4. 分枝结构的进退格式L分形的制作方法
    L-system对植物结构的绘制，是L分形中最令人感兴趣的部分。前两种压缩形式是从一个起点到一个终点止的，而要模拟植物形态，就要有一个起点多个终点。所以L-system作为一种计算机符号指令系统，必须有一个指令符号，在画完一个分枝后，使计算机退回到主干再进入另一个分枝继续画图。而画板采样“人脑+电脑”的方法，这个转向过程却是轻而易举的事。下面以分形树的制作来介绍这一格式L-分形的制作方法：
一、作初始元、生成元：
    作竖直线段AB，以A为中心，按比0.618缩放B为C，按向量CB平移B为D；以C为中心，按角度36°旋转B为B'， 以B为中心，按角度-36°旋转D为D'，得初始元、生成元A-B如图
           

2010-11-27 23:41

               

2010-11-27 23:38

                       生成元A-B                                       分形树
二、将生成元A-B分别在A-C、C-B'、C-B、B-D、B-D'以参数n为深度执行一次迭代（最终迭代），隐藏生成元，增大参数n，得分形树。

xiaongxp

前面用L-系统模拟植物形态还属于线性分形，所做的是保角的仿射变换，没能得到生动逼真的图形。要模拟出栩栩如生的植物形态，就要引入随机L-system或用迭代函数系统(IFS)。而随机L-system的画板实现，我们还没有找到有效的方法，也是我们努力的方向。下一个练习，就从IFS-Sierpinski三角开始。

xiaongxp

练习5. 二维IFS分形确定性算法的画板实现
     迭代函数系统(IFS)的理论与实践在分形几何中占有十分重要的地位。二维IFS分形实际就是复平面上的点集，在一组压缩仿射变换之下的像经反复迭代而产生的分形。
     下面以IFS-Sierpinski三角为例，介绍其原理和制作方法。
               

2010-11-29 14:15

        如图，Sierpinski三角由以下三个仿射变换确定：
    W1．：（x，y）→（0.5x，0.5y），                   （一次变换效果：△ABC→△ADF）
    W2．：（x，y）→（0.5x+0.5，0.5y）                （一次变换效果：△ABC→△DBE）
    W3．：（x，y）→（0.5x，0.5y+0.5）                （一次变换效果：△ABC→△FEC）
我们把系统{ W1 ，W2，W3}叫做一个迭代函数系统，将给定点集(复平面)反复施加这组仿射变换(迭代)就形成Sierpinski三角。具体作法如下：
一、构建三个仿射变换
     任作一点z，度量其横、纵坐标x、y，计算0.5x、0.5y、0.5x+0.5、0.5y+0.5，作点A（0.5x，0.5y）、B（0.5x+0.5，0.5y）、C（0.5x，0.5y+0.5）；
二、迭代成ISF分形
    新建参数n，作z→A、z→B、z→C，深度为n的迭代(显示为“最终迭代”)，增大n，得ISF-Sierpinski三角。

    下一个练习介绍几个常见的确定性IFS作法。

xiaongxp

31# 柳烟
互相学习，共同提高。

xiaongxp

练习6. 二维IFS分形确定性算法的画板实现(续1)
      现在来练习L-龙曲线和IFS-龙曲线的画板实现。如图
                 

2010-12-1 00:06

一、龙曲线的生成原理：
    龙曲线由两个仿射变换确定：
    W1：(x,y)→ (0.5x-0.5y,0.5x+0.5y)， 即将左生成元ACB压缩到原来的2^0.5后再逆时针旋转45°，得折线AEC；
    W2：(x,y)→ (-0.5x-0.5y+1,0.5x-0.5y)， 即将左生成元ACB压缩到原来的2^0.5，再逆时针旋转135°，最后右移1单位得折线BFC。
二、L-龙曲线的制作方法：
   1．作生成元A-B：A、B为独立点，∠ACB=90°如上图所示，隐藏点C；
   2．作{A,B}→{ A,C}，{A,B}→{ B,C}，深度为n的迭代，显示为最终迭代，得L-龙曲线。
三、IFS-龙曲线的制作方法：
   1．作点z，度量其坐标，作点w1(0.5x-0.5y,0.5x+0.5y)，w2 (-0.5x-0.5y+1,0.5x-0.5y)；
   2．作z→w1，z→w2，深度为n的迭代显示为最终迭代，得IFS-龙曲线。

xiaongxp

36# 榕坚
要把IFS用逃逸时间算法扫描出来，需要求出IFS的漂移动力系统，理论上是可行的，实际做起来困难，xuefeiyang老师在这方面做过努力，看来没能彻底解决。

xiaongxp

练习7. 二维IFS分形确定性算法的画板实现(续2)
                           

2010-12-1 23:50

                  

2010-12-2 13:16

               
上图所示分形叫花篮簇，它由5个仿射变换确定：
      W1：(x,y)→ (0.5x-0.134y, 0.134x+0.5y)，即A-B→A-C
      W2：(x,y)→ (0.5x+0.134y+0.5, -0.134x+0.5y+0.134)，即A-B→C-B
      W3：(x,y)→ (-0.1667x-0y+0.583, 0x-0.1667y+0.134)，即A-B→C'-C''
      W4：(x,y)→ (0.083x-0.229y+0.417,0.229x+0.083y+0.134)，即A-B→C''-D
      W5：(x,y)→ (0.083x+0.229y+0.5,-0.229x+0.083y+0.359)，即A-B→D-C'
                           

2010-12-1 23:50

一、L-花篮簇的制作方法：
   1．作生成元：如下图，作线段AB，以B为中心将A沿顺时针方向旋转15°得A'，作线段AB的中垂线交A'B于C，以B为中心按比1/12缩放将A为A''，按向量A''B平移C为C'，按向量BA''平移C为C''，以C'为中心将C''沿顺时针方向旋转75°得C'''，射线C' C'''交AB的中垂线于D，将图形整理成如上图生成元。
                        

2010-12-1 23:50

    3．作深度为n的最终迭代：A-B→A-C、A-B→C''-D、A-B→D-C'、A-B→C-B、A-B→C'-C''，增大n值得L-花篮簇。
二、IFS-花篮簇的制作方法：
    1．作五点：w1 (0.5x-0.134y, 0.134x+0.5y)、
                    w2 (0.5x+0.134y+0.5, -0.134x+0.5y+0.134)、
                    w3 (-0.1667x-0y+0.583, 0x-0.1667y+0.134)、
                    w4 (0.083x-0.229y+0.417,0.229x+0.083y+0.134)、
                    w5 (0.083x+0.229y+0.5,-0.229x+0.083y+0.359)
     2．作z→w1、z→w2、z→w3、z→w4、z→w5深度为n的迭代显示为最终迭代，得IFS-花篮簇。


    往后将开始IFS编码和随机IFS的练习了。