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学习,谢谢!
感谢柳老师指正“画板分形常用工具箱”中z^k的错误,现已在6#原位置更新。
原位置再次更新了“画板分形常用工具箱”,新增了复数的模工具、辐角工具、距离工具、两个p示性数工具。
练习10. 反函数迭代(逆迭代)法IFS-分形的画板实现
     分形具有局部与整体的自相似性,也就是说局部是整体的一个小复制品,只是在大小、位置和方向上有所不同而已;而数学中的仿射变换是一种线性变换,它正好具有把图形放大、缩小、旋转和平移的性质。因此,产生一个复制品就相当于对图形作一次压缩仿射变换。于是,从原则上说,任何分形图形都可以用一组压缩仿射变换来描述或生成。
     但是,如何求出分形的压缩仿射映射变换,提取其IFS码,这是分形几何学一直没有彻底解决的难题。然而对于一些较简单的整式或分式型迭代格式的分形,我们可以用反函数迭代法来构造其IFS分形,如练习1中“逆迭代圆IFS-Julia集”。下面再以“z→z^(7/4)+c“格式的分形为例,练习这种反函数迭代法的画板实现。
     反解z=w^(7/4)+c得w(m+1)=(z-c)^(4/7)*e^( i*2mπ/7),其中m=0,1,…,6,从而得到函数迭代系统{W(m):z→w(m);m=1,2,…,7}。画板实现如下:
一、构造迭代格式:
     1.打开“复分形扫描线框架【可调小扫描线】”,删除点P、Q、T0、r、p0,将标题改为“逆迭代IFS: z^(7/4)+c→z”,改k的精确度为“十万分之一”,输入“4/7”;
     2.调用“画板分形常用工具箱”,先后用“z[1]-z[2]”工具和“z^k” 工具,计算出w1的横纵坐标,绘制点W1,并以坐标原点为中心,将W1递次逆时针旋转2π/7,得点W(m) ,m=2,3,…,7;
     3.度量出W(m),m=1,2,…,7的横纵坐标后隐藏这些点;
二、构造随机变换点
     4.作七等分概率轴和点P,用“区间示性数”工具仿练习8构造示性数,m1~m7,计算变换点横纵坐标:
             未命名1.JPG
             未命名2.JPG
绘制变换点w;
三、迭代成分形
     先将P合并到概率轴后,作z→w,P→P,深度为n的随机迭代,显示为“完整迭代”,保存后变n=50000,得IFS分形图(建议c=4.5)。
                         逆迭代IFS:z^(7∕4)+c→z.jpg

逆迭代IFS:z^(7∕4)+c→z.gsp (12.63 KB)

练习11. Apollony分形的画板实现
      创建Apollony分形由三个相切的初始圆开始,第一步在三者间向内作一个公切圆,第二步又在其中任意三圆之间分别作三个公切圆,
               图片1.jpg     图片2.jpg
……以此类推,经过n次重复(迭代),得到Apollony分形:
                                           图片3.jpg
      可以看出,Apollony分形呈现出三轴对称性,其中每一个圆都恰与周围三圆相切,我们可以将其看成是以其中任两圆为基圆将第三圆向内压缩而成,由此可知Apollony分形是由三个压缩变换(Moebius变换)生成,若分别以三点O1(1,sqrt(3))、O2(1,- sqrt(3))、O3(-sqrt(3) ,0)为圆心,sqrt(3)为半径的圆为三个初始圆,可以求出这三个压缩变换为:
                   W1:w1=3(sqrt(3)+1-z)^-1-sqrt(3)+1
                   W2:w2=w1·e^(i·2π÷3)
                   W3:w2=w1·e^(-i·2π÷3)
下面构建这个分形。
一、构造迭代格式:
     1.打开“复分形扫描线框架【可调小扫描线】”,删除点P、Q、T0、r、k、p0,将标题改为“IFS-Apollony”;
     2.计算sqrt(3)+1-z横标和纵标,调用“画板分形常用工具箱”中“1/z”工具计算(sqrt(3)+1-z)^-1 ,分别双击其的横纵标编辑为w1=3(sqrt(3)+1-z)^-1-sqrt(3)+1的横纵标,绘制点w1,并以坐标原点为中心,将w1递次逆时针旋转2π/3,得点w2、w3。
二、迭代成分形
      作z→w1,z→w2,z→w3,深度为n的迭代,显示为“完整迭代”,保存后变n=10,得IFS- Apollony分形。
                                     IFS-Apollony.jpg
      如果将Apollony分形以单位圆基圆施行三次反演变换,我们将看到一个更加美丽的分形——四圆极限集。下一次将开始练习圆的极限集的画板实现方法。

IFS-Apollony.gsp (4.98 KB)

在原位置更新了“画板分形常用工具箱”和两个扫描框架,感兴趣的板友请自取,如在运用中发现有什么问题,请不吝指正。
    在新年来临之际,祝本坛全体朋友们身体健康、事事如意,祝【画板论坛】来年更加红火,坛友千千万!
用圆作最终迭代的IFS-Apollony分形,能更好的反映圆的压缩过程。
圆的最终迭代:                           
IFS-Apollony【圆的最终迭代】.jpg
圆的完整迭代:
IFS-Apollony【圆的完整迭代】.jpg

IFS-Apollony【圆的最终迭代】.gsp (6.2 KB)

练习12. 圆的极限集分形的画板实现(1)
     接练习11,我们来作Apollony分形及其以单位圆为基圆施行三次反演变换,所得的四圆极限集。这里,我们练习一个新的实用技术——用Moebius变换构建圆的极限集的方法。
一、构造迭代格式:
     1.作出四个基圆,其中三个圆为等圆且两两相切,第四圆外切于前三圆,如图所示(为使所作分形的结构可变,我们以一点一线段作圆,将四圆拼成相切。):
                   图片1.GIF   
      2.先在空白处任取一点z,再调用“画板分形常用工具箱”中“Moebius变换1”工具,依次匹配圆A、点z,得点A1;同法作点B1、C1、D1。
     到此我们可作z→A1,z→B1,z→C1,z→D1深度为n=6的迭代,保存就得到Apollony四圆极限集了。这是一个确定性分形,增大n才会使图形更细腻,但增大n会使计算机速度减慢,甚至死机。我们还是作随机分形。
     3.分别度量A1、B1、C1、D1的横纵坐标。
二、构造随机变换点
     作四等分概率轴和点P,用“区间示性数”工具仿练习8构造示性数,m1~m4,计算变换点横纵坐标:
                     图片2.jpg
                     图片3.jpg   
绘制变换点w。
三、迭代成分形
     先将P合并到概率轴后,作z→w,P→P,深度为n的随机迭代,显示为“完整迭代”,保存后变n=1000,并调好各区间上的概率,使图形棱角更分明,再使n=50000,得IFSP-Apollony四圆极限集分形图。
                图片4.GIF
                IFS-Apollony四圆极限集.jpg
下面文件更新了,增加了圆迭代,速度有点慢

Apollony四圆极限集.gsp (51.56 KB)

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