双曲几何与分形探究

xuefeiyang

分形图形如果绘制于双曲空间上，那将会把无限的图形绘制于有限的空间中。但画板演绎双曲几何需要较高的画板应用技术与相关的数学与编程知识，可以尝试着看看能否完成。

xuefeiyang

问题1
第一章 分式线性变换中的第一节里遇到这样一个问题：复系数方程的根的问题。
如何求任意一个复系数一元方程的根：其基本形式是f(z)=0.
（1）复系数一元整式方程的根：f(z)=a0*x^n+a1*x^(n-1)+....+an=0
（2）一般复系数方程的根的确定：f(z)=0

xuefeiyang

对于（1），现在已知除了一元一次，二次，三次，四次之处没有求根公式，这是已经证明了的问题。至于一到四次方程的求根公式，常老师已经给出了画板求根公式的工具。其它方程的根的确定现在已有的做法就是数值迭代法求其有一定精度的根。为了方便我把这个工具放在这里： 复系数1234次方程(2).gsp (92.97 KB)

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2011-3-8 18:36

xiaongxp

《双曲几何与分形探究》这个论题太吸引人了，我也在思考这个问题。我想，应该解决两个问题：
1.如何用画板构造任意双曲正多边形？
2.如何用画板将初始元以[p，q]双曲压缩方式迭代生成极限集分形？

xuefeiyang

请向兄参与这个课题的研究！这里有很多问题需要探讨。我们先搞清双曲空间的特征。双曲空间与欧氏空间的度量都变了。双曲平面内的圆与直线高度统一。这个统一是解决双曲几何的难题。我们先不涉及。先解决一些外围问题。

xuefeiyang

问题（2）可用牛顿迭代法解决，我也把这个工具放在这里： 解.gsp (6.81 KB)

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2011-3-8 19:24

用这个工具可以求出中学数学中所涉及到的绝大多数方程的求根问题。只不过求出来的只是近似解。

xuefeiyang

问题2
球极投影及其应用： 在三维空间中取定一个直角坐标系OXYZ，并作一个以点（0，0，0.5）为中心，半径为0.5的球面。这样坐标平面OXY内的任一点(x,y)都可以用变换x'=x/(1+x^2+y^2),y'=y/(1+x^2+y^2),z'=(x^2+y^2)/(1+x^2+y^2)与球面内的点建立一一对应关系。也即可以把平面内的所有点映射到球面上去。注意一点的是无穷远点映射到北极点N（0，0，1）。

xuefeiyang

问题3
分式线性变换的基础工具：交比及其应用。

changxde

期待中......

xuefeiyang

（1）交比的定义：对于复平面内任意不同的四个点z1,z2,z3,z4,定义：(z1-z3)(z2-z4)/((z2-z3)(z1-z4))为这四个复数的交比，记作[z1,z2;z3,z4]