如何根据阿波罗尼斯圆的定义,用轨迹的功能来做此图形?

liugb0414

阿波罗尼斯（Apollonius）圆
一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比m：n，则点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”

柳烟

柳烟交上一份构建的阿氏圆的习作，各位高手指正，并希望看到其他人的构建，大家相互学习，共同提高。
柳烟的作法：
1、在直线上找三个点A、B、C，度量出AB：BC为2.72，作为m：n；作过A的任意圆，
在圆上找一点D，作直线AD；
2、以点A为中心，将点D按m：n缩放，得点D'；再以D为圆心，以AD'为径画圆，
交水平直线于点F，连DF；
3、过点C作DF的平行线，交直线AD于点P，此点即为所求轨迹上的点；
4、构造以D为驱动点的动点P的轨迹，即为阿氏圆。

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2010-2-25 19:54

阿氏圆的构建.gsp (4.54 KB)

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2010-2-25 16:31

liugb0414

谢谢.
我已经知道了, 对椭圆的定义的进一步延伸, 到三点距离和为定值的点的轨迹,能否画出来呢?
从轨迹的隐函数来看,这是一个高次曲线.

柳烟

能，答案如下：

下载 (10.58 KB)

2010-2-26 08:35

拖动F1、F2、F3三个自由点，还可看到轨迹的各种形状的变化。
到三定点距离之和为定长的点的轨迹[1].gsp (4.08 KB)

下载次数: 4970

2010-4-5 09:48

liugb0414

谢谢,真是高手!

分形几何

考考你的想象力，到十个点的距离和为常数的点的轨迹是什么形状呢？到两定点的距离和与到另两定点的距离差之比为常数的点的轨迹又是什么形状呢？如果你搞不清楚如何用几何表达式来绘制曲线的话，你将永远会遇到此类问题。建议你将此问题作为一个研究的课题，深入探究！

liugb0414

用几何表达式来绘制曲线, 这句话很受启发! 这充分展示了几何的魅力!
记得看北大的姜伯驹谈论几何学时,说到,数学的发展史中,很多问题都是从几何问题开始引入的,例如:无理数的发现,就是从正方形的对角线的长度问题的研究中发现的.
你的作图思路,让我又看到了几何学的另一番别有洞天的景象! 以前在中学喜欢做几何题, 就是喜欢一些巧妙的证明题,当时有了巧妙的思路,已经是心花怒放了, 现在有了画板, 居然有比证明题更妙的! 当然这对思维要求也更高了,要先自己构建一个作图思路,同时还要能证明这样做能得到想要的结果.  以前虽然有直尺,圆规这些作图工具, 但那只能做些简单的图形, 根本体会不到作图的复杂性和妙处. 而画板提供了这种可能性, 这正是动态几何与计算机技术产生后,才能做到的事情吧,也是CAI教学较之传统教学的炫人夺目之处吧!. 在没有计算机时,这确实不可想像的.

liugb0414

柳烟的阿氏圆的画法,得到的轨迹点到PC/PA=m/n-1, 当然这也是一个定比值了. 这就算是我分析柳烟算法的一些心得吧.
最近在画板论坛上看各位高手的奇思妙想,真地是很开眼界. 我甚至想都可以把在画板上画图作为一些数学竞赛项目来搞. 从而更加积极地调动大家使用画板的兴趣,这可能比现在那些刁钻古怪的奥数题还有意思. 当然,如果真那么做, 笑的最开心的, 莫过于几何画板的美国老板了.

柳烟

柳烟的阿氏圆的画法,得到的轨迹点到PC/PA=m/n-1, 当然这也是一个定比值了. 这就算是我分析柳烟算法的一些心得吧.
最近在画板论坛上看各位高手的奇思妙想,真地是很开眼界. 我甚至想都可以把在画板上画图作为一些数学 ...
liugb0414 发表于 2010-2-26 15:57

问候朋友，大家共同探讨，一同进步。几何画板这一软件，给人无限驰骋的空间，我想这可能是这软件经久不衰的魅力所在。如果一个软件把什么都考虑完了，人们一点软件，什么都弄好了，这只能让人的思维停顿，在二十一世纪把人彻底变成机器了。解决你的问题，也让我作图方面也有了提高，充实了业余时间，在此也表示感谢。阿氏圆的作法中，PC/PA=m:n，朋友可用画板中的计算功能算一下就可知。我玩画板可能比朋友早一点，不敢以高手自居，大家共同学习，一同进步，提高画板的应用水平。

liugb0414

我分析有误,柳烟说得对. 确实PC/PA=m:n,向柳烟多多学习.