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鞋匠刀问题及两个重要结论：
这是一个古老而经典的几何学难题，如图所示，有一个大圆A，内部有一个和它内切的圆B，在AB圆心连线的上做小圆C同时与A、B相切。
再做C1与C，A，B相切，做C2与C1，A，B相切。。。。。。
这个图的上半部分包括一连串相切的小圆，被称为鞋匠的刀。
求证：
1、C1，C2，C3，。。。Cn的切点都在同一个圆上（虚线部分）
2、设Cn半径为Rn，则从Cn圆心到AB圆心连线的垂直距离恰好是 2n*Rn
证明：以圆A和圆B的切点O为中心，任取一个长度r，作反演。圆A和圆B反演成两条平行的直线，所有Ci反演成圆。
由于Ci和A，Ci和B，相邻的两个Ci都相切，那么所有Ci反演以后的圆就是夹在两条平行直线间的一列半径相同的圆。
这些圆的切点显然在一条直线上，而且和先前说的两条直线平行。那么在做反演之前，这些切点必然共圆。（结论1）
假设圆Cn反演成圆Gn。它们的圆心OCn和OGn，与O必然共线。假设该直线与Cn交于Cna和Cnb，与Gn交于Gna和Gnb。注意所有的Gn的半径都是相同的，记为rg。
根据反演的定义，OCna * OGnb = r平方 = OGna * OCnb，而OCnb = OCna + 2rn，OGnb = OGna + 2rg。
所以 (OCna + 2rn) / (OGna + 2rg) = OCna / OGna，稍微变换一下形式，得到：(OCna + rn) / (OGna + rg) = rn / rg
从Gn圆心向AB圆心连线作垂线，根据明显的相似三角形，有Ln / (2n * rg) = (OCna + rn) / (OGna + rg) = rn / rg
所以 Ln = 2n * rn （结论2）
上面的结论的证明简捷，很是值得玩味。——柳烟注。 |
