[教程] 网络画板应用——演示2017年文科数学高考题

网络画板

作者：无情天魔精致
昨天（2017年6月7日），高考又一次来到了世间，在路上，看到最忙碌的，竟然不是考生，而是公安人员。
考题，在考试结束后，就已经可以在网上搜到，不得不佩服人们的“剽窃”能力。
我得到一份文科数学试题，下面就用网络画板来演示一二。
选择题第四题：
正方形内有一个中国古代的太极图，随机地在正方形内部取一个点，这个点落在黑色区域内的概率是多少？
本题只要注意到，太极图黑白两部分是中心对称的，然后计算半圆的面积和正方形面积的比值即可。
在网络画板官网里面搜索“太极”，就可以看到很多精彩课件！

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2017-6-8 17:59

选择题第8题：
判断函数y=sin(2*x)/(1-cosx)的大体图像。选项是四个图形，只需要判断函数的奇偶性和x=1时对应的y是正还是负就可以了。
网络画板不能一下做出它的图像，这是因为x=0是函数的奇点，需要分成两支分别作图。整体图像如下图。
在官网里面搜索“2017年文科数学高考题选择题第8题”，就可以看到！

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2017-6-8 17:59

选择题第九题：
判断函数y=ln(x)+ln(2-x)的单调性和对称性。
这个问题考察了对数函数求导、用求导法判断函数单调性，而在判断对称性的时候，只需要向左平移图像一个单位——y（x）=ln(1+x)+ln(1-x)，比较y(x)和y(-x)。
要注意，在网络画板里面，自然对数的表达式是log，那么y=log(x) + log(2 - x)，图像如下图。

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问答题第21题：
判断函数y=e ^ x * (e ^ x - a) - a ^ 2 * x的单调性；
如果y恒不小于0，求a的取值范围。
对x求导：
y'=2e^(2x)-a*e^x-a^2=(2e^x+a)(e^x-a)
然后再对a分为三种情况（a>0、a=0和a<0）进行讨论。
网络画板可以视a为动画参数，进行动态模拟。

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选考题第22题：
曲线C的参数方程是{x=3cosu,y=sinu}(u是参数)，直线L的参数方程是{x=a+4t,1-t}(t是参数)。
（1）.若a=-1，求C与L的交点坐标；
（2）.若C的点到L的最大距离是sqrt(17)，求a。
解：（1）.由题意，有(4t-1)^2/9+(1-t)^2=1，
化简为：25t^2-26t+1=0，
得到解为：t=1或者t=1/25，带入就得到坐标。
（2）.直线L的斜率是k=-1/4，a变化相当于直线平移。
在a未知的情况下，求C与L交点，可以写为25t^2+ (8a-18)t+a^2=0，当C与L相切，判别式为△=(8a-18)^2-100a^2=0，化简为(a+9)(a-1)=0，a=1或者a=-9,所以切点是(9/5,4/5)、(-9/5,-4/5)，再经过一番计算，可以得到结论：
若C的点到L的最大距离是sqrt(17)，a=8或-16。

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