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谈谈单位1
有好几位老师问我：你认为自然数“自然”在哪？
我好像在哪看到过一个解释，但确实也记不得了。
但既然是问我个人的看法，我也说一说，供大家参考。
举个最简单的例子吧，1条鱼有1.1公斤。
这句话中出现了1和1.1，很显然，按照我们对自然数的界定，1是自然数，1.1不是自然数。原因就是鱼的条数是天然单位，确定起来容易，没什么可争议的。但1.1公斤是鱼的重量，如果拿更精确的秤来称，可能是1.11公斤呢？
可见自然与否，还是显然易见的。
那哪个数是第一个自然数呢？这是一个存在争议的问题。
在数论专家看来，1是第一个自然数。而在集合论研究者看来，0才是第一个自然数。
那么中小学老师该听谁的呢？听教育部的。
专家说的都是浮云，只有教育部制定的课程标准才是最硬的。
而从数学史的角度来说，人们认识1远比认识0要早。在所有自然数中，即便1当不了领头羊，它也有着自己的独特魅力。那就是1还可以升级为抽象意义中的单位1。
森林里有很多树。
当我们说“一棵树”时，就是将一棵树看作是1个单位。
当我们说“一片树林”时，就是将一片树林看作是1个单位。
1就好像是孙悟空的金箍棒，可变大也可缩小，看你怎么用着方便就好。下面这个故事中的小学生就把单位1的思想用到了极致。
古时候，一位国王问身边的大臣：“王宫前面的水池里共有几杯水?”
大臣回禀：“这种问题只要问一个小学生就能得到正确的答复。”
于是一个小学生被召来了。
“王宫前面的水池里面共有几杯水?”国王问他。
“要看是怎样的杯子，”小学生不假思索地应声而答，“如果杯子和水池一般大，那就是一杯，如果杯子只有水池的一半大，那就是两杯，如果杯子只有水池的三分之一大。那就是三杯。如果……”
“你说得完全对!”国王说着，奖赏了小学生。
池子里的水当然可以看作是1个单位，至于找不找得到承载“这1个单位”的水的容器，那是另外一回事了。
还有一个小气鬼做帽子的故事也很有意思。
有个小气鬼拿了一块布去请一个裁缝做一顶帽子。他问布够不够？裁缝量了布之后说：布够了。但是，这个小气鬼疑心裁缝要赚他的布。于是，他就问这块布够不够做两顶帽子？裁缝看透了他的心思，就回答说：够做。小气鬼还不罢休，又问够不够做三顶帽子？……他添上一顶又一顶，直到五顶，裁缝总说能够做。就这样，他们谈妥了，这块布做五顶帽子。
等到约定取帽子的那一天，小气鬼到了裁缝店。他看到裁缝拿出做好的五顶帽子，小得只能套在手指头上。小气鬼发现自己上了当，于是就到桑丘总督那里告裁缝的状。
在法庭上，原告小气鬼坚持要裁缝赔他的布，而被告裁缝却坚持要小气鬼付工钱。桑丘总督听了两人的话之后，作了这样的判决：裁缝不准要工钱，小气鬼也不准要布；做好的帽子充公，送到牢里给囚犯用。
那么裁缝与小气鬼的争吵，究竟是因为什么而引起的呢？
其实就是对单位1的看法不同。裁缝认为只要每顶帽子的基本部件齐全，就是一顶合格的帽子，小一点就小一点。一个单位1分解之后，可以得到很多个单位1。而小气鬼也是自作自受，只讲数量，也没指定一定要符合自己头的大小尺寸。
单位1就像孙悟空的毫毛一样，一根毫毛可以变出很多东西来。
单位1在小学数学解题中很有作用，在奥数题中的作用更是让人吃惊。下面两道小学奥数题，我原以为都是要列三元一次方程才能解决的，结果单位1出马，轻松搞定！
例1：张、王、李三人共有54元，张用了自己钱数的3/5，王用了自己钱数的3/4，李用了自己钱数的2/3，各买了一支相同的钢笔。张和李两人剩下的钱共有多少元?
解法1：设张、王、李各有x、y、z元，列方程:x+y+z=54，3/5x=3/4y=2/3z，则x=10/9z，y=8/9z，z=18；所以(1-3/5) x+(1-2/3)z=7/9z=14。
解法2：设钢笔价格为单位1，则张有5/3，王有4/3，李有3/2，这样钢笔价格是54÷(5/3+4/3+3/2)=12元。张剩下12×(5/3-1)=8，李剩下12×(3/2-1)=6，所以张和李共剩下8+6=14元。
例2：甲、乙、丙三个好朋友去超市买了100元的商品。如果甲付钱，那么甲剩下的钱将是乙、丙剩下钱的2/13；如果乙付钱，那么乙剩下的钱将是甲、丙剩下钱的9/16；如果丙付钱，丙用他的会员卡就可以享受9折优惠，只需付90元，那么丙剩下的钱将是甲、乙剩下钱的1/3。问：甲、乙、丙开始时一共带了多少钱？
解法1：设甲乙丙各带x，y，z元,列方程:
x-100=2/13×(y+z)
y-100=9/16×(x+z)
z-90=1/3×(x+y)
解得：x=200，y=370，z=280。
解法2：将总钱数少100看做单位“1”。甲剩下的钱占“2/15”,乙剩下的钱占“9/25”,那么丙全部的钱加100元占整体的1-2/15-9/25=38/75，这样丙花90元，是“38/75”少190元。此时剩下的钱是丙的4倍，是“152/75”少760元。而这个数目应当是“1”多10元。因此“1”是(760+10)÷(152/75-1)=750元。甲带钱750×2/15+100=200；乙带钱750×9/25+100=370；丙带钱750×38/75-100=280。
所以说，当你看到一个小学奥数题，切莫轻易下判断，这要用中学的知识才能解，更不着大声批判：奥数题就是拿高年级的题为难低年级的学生。
我在《“提前学”还是“温故知新”》一文中说过：当我们遇到一个问题解答不了，我们应该反思：是数学知识储备还不够，还是知识储备够了，只是我们没有灵活地运用？如果是知识储备不够，那么我们就应该去多学一点；如果是没有灵活运用已有知识，那么我们就应该多思考，“温故”也是“知新”的一条途径。
下面是《天龙八部》中一段，很让人受启发。
枯荣大师道：“本因，咱们练功习艺，所为何来？”
本因没料到师叔竟会如此询问，微微一愕，答道：“为的是弘法护国。”
枯荣大师道：“外魔来时，若是吾等道浅，难用佛法点化，非得出手降魔不可，该用何种功夫？”
本因道：“若不得已而出手，当用一阳指。”
枯荣大师部道：“你在一阳指上的修为，已到了第几品境界？”
本因额头出汗，答道：“弟子根钝，又兼未能精进，只修得到第四品。”
枯荣大师再问：“以你所见，大理段氏的一阳指与少林牛花指、多罗叶指、无相劫指三项指法相较，孰优孰劣？”
本因道：“指法无优劣，功力有高下。”枯荣大师道：“不错。咱们的一阳指若能练到第一品，那便如何？”
本因道：“渊深难测，弟子不敢妄说。”
枯荣道：“倘若你再活一百风，能练到第几品？”
本因额上汗水涔涔而下，颤声道：“弟子不知。”
枯荣道：“能修到第一品么？”
本因道：“决计不能。”
枯荣大师就此不再说话。
本因道：“师叔指点甚是，咱们自己的一阳指尚自修习不得周全，要旁人的武学奇经作甚？明王远来辛苦，待敝寺设斋接风。”这么说，自是拒绝大轮明王的所求了。
彭翕成 pxc417@126.com
武汉华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心 430079
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