可视化的π

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可视化的π
彭翕成        pxc417@126.com   027-67867573
     武汉 华中师范大学教育信息技术工程研究中心     430079

    《数学通报》2006年2期上刊登了文[1]，该文认为“悠久的历史、奇妙的性质使得π蕴含着丰富的数学教育功能,然而在以往的数学教学中,这种功能却常常处于一种闲置状态,被当成一个冰冷的符号在使用。”并从“培养求真精神、激发好奇心、进行研究性学习”三个方面展开探讨如何开发π中的数学教育功能。笔者读后，很受启发，同时也觉得如果充分利用信息技术（譬如用超级画板）来探索π，那就显得更加直观，完全可以达到可视化的效果。
超级画板是一款智能化教学软件，功能相当强大，具有动态几何，符号运算，统计图表，编程环境，文稿演示等多种功能。它不仅能够满足中学数学教学和数学实验的几乎所有需求，而且操作方式简单快捷，易学易用，体现了人性化，智能化，可视化，动态化和程序化。本文所有课件都是用免费版本的超级画板制作，该软件可在http://www.zplusz.org/下载，更多经典案例参见文[2]。下面以几个实例来说明如何利用超级画板探索π的性质。

例1：圆内接正多边形周长与圆周长之间的关系
圆周率π通常被定义为圆周长与直径的比，但圆是曲线，周长如何求呢？古代数学家很早就想出了穷竭法，将将圆的周长定义为圆内接正多边形周长的极限，设圆的周长为C，圆内接正多边形周长为 ，则有 。可若要严格证明，必然涉及“单调有界数列必有极限”这一抽象的极限知识，怎样才能让中学生比较直观而又深刻地理解这一点呢？利用超级画板，简单的几步操作就能很好地解决这个问题。
（1）点击【作图】|【文本作图】，在文本对话框中输入
“Function(rho=3,0,2*pi,500,);Function(rho=3,0,2*pi,floor(n)+1,);Variable(n);”，点击运行则可生成圆和圆内接正多边形以及一把控制多边形边数的变量尺；
（2）拖动参数n使之约等于3，然后双击圆内接多边形，在对话框中勾选“折线段”。
此时我们拖动参数n使之从小到大变化，看到正多边形向圆“逼近”的过程（图1，2，3），很自然就能体会到刘徽关于“割圆术”的论述:“割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣。” 我们可以进一步作出圆的外切多边形，利用“两边夹”的思想来计算圆的周长。
                  
      图1                          图2                        图3
例2：圆面积公式与周长公式之间的关系
在小学就学过圆的面积公式 和周长公式 ，但这两个公式有什么关系呢？求出圆的周长之后，如何来求圆的面积呢？我们可以用超级画板作出圆与矩形互变的动画：首先将圆分成若干等份（图4），然后将圆弧展开（图5），接着将上边部分平移一个三角形的位置（图6），最后将上边部分插入到下边部分（图7）。我们直观地看到圆转化成矩形（近似）的过程，很容易就能得到圆的面积 。同时，我们可以得出结论：等分份数越多，圆弧就越接近于直线，最后所得图形就越接近于矩形。
        
       图4                    图5                         图6

          图7
例3 圆周率的微积分定义
除了用圆周长与直径的比来定义圆周率π，还可以用单位圆的面积来定义π。这是因为当r＝1时，圆的面积 ，于是又可以用 表示π。下面是用超级画板探索 的过程。
（1）点击【作图】|【文本作图】，在文本对话框中输入“Function(y=(1-x^2)^(1/2),
0,1,n,);Variable(n);”，点击运行则可生成一段圆弧和一把变量尺；
（2）双击圆弧，在对话框中勾选“x轴区域”，并填充颜色；
（3）点击【作图】|【文本作图】，在文本对话框中输入“MeasureLowerArea(5);
MeasureUpperArea(5);”，计算得到积分上和，积分下和；
此时拖动参数n使之从小到大变化（图8，9），我们看到矩形向圆“逼近”，积分上和与积分下和也越来越接近，通常取积分上和与积分下和的平均值来近似表示 ，这也是微积分中求曲多边形面积一般方法。
     
图8                                     图9
例4 利用反正切公式计算圆周率
   自1673年莱布尼茨用 计算π以后，数学家们又找到了大量的反正切公式来计算圆周率。在超级画板中，只要在【测量】|【测量表达式】中依次输入“4*arctan(1)”，“16*arctan(1/5)-4*arctan(1/239)”，
“12*arctan(1/4)+4*arctan(1/20)+4*arctan(1/1985)”，就可很容易地算出结果（图10）。

图10
例5 利用无穷级数表达式计算圆周率
如果你觉得按照例4的作法计算圆周率太直接，没什么看头的话，我们可以作出分步的动画。譬如利用欧拉公式 来作动画。
（1）在【测量】|【测量表达式】中测量x，n和pi^2/6的值；
(2）单击右键，作出n的动画，参数范围为1到1，动画类型为一次运动；再作出x的动画，参数范围为0到0，动画类型为一次运动；
（3）作出n的动画，参数范围为n到n+1，动画类型为一次运动；再作出x的动画，参数范围为x到x+1/n^2，动画类型为一次运动；
作完上述准备工作之后，先点击左边两个动画，使得n＝1，x＝0；然后在左边的程序区中，输入“Move(10,11);”，接着反复按 “CTRL+ENTER”执行该语句。每执行一次，n就增加1，x的值就增加1/n^2，图11是执行100次后的结果，可以预料继续执行下去，x的值会越来越接近 。

图11
   类似地，我们可以利用 ， 来作动画，甚至利用连分数 。通过作这些动画，除了感慨π的形式各种各样之外，还将发现不同的无穷级数表达式的收敛速度是有很大差别的。
例6 利用概率实验计算圆周率
随着新课程的改革，概率统计已经进入高中数学教材，而很多的实验如果按照原始的方法来做，需要花费很多宝贵的时间。借助于超级画板，就能使原本费时费力的实验过程变得轻而易举。与其它动态几何软件相比，超级画板有着更多的数学函数，譬如其中的随机函数就使得此处的随机动画变成可能，统计表格功能更是为模拟概率统计方面的实验提供了方便。根据几何概型的原理，我们可以用超级画板模拟投豆实验（图12）。在正方形中随机取点，记录投豆的次数n和落在圆内次数k，当投豆次数足够多时，计算 的结果就是圆周率的近似值。类似的方法还可以模拟蒲丰投针实验（图13）。
               
图12                                     图13
例7编程探讨圆周率的近似分数
我国在圆周率的研究方面作出了杰出贡献，最为大家熟悉的是祖冲之将圆周率的值精确到小数点后7位，但对于祖冲之提出的密率有什么优越性，可能大家认识得还不是很清楚。所谓密率，就是用 来作为π的近似值。密率极具创造性，简单易记，准确有趣。简单易记是显然的，将1，3，5三个奇数各重复一遍后“平均”斩为两段，再让大的“住楼上”，小的“住楼下”就行了，另外“ ， 7、8、9是连续的自然数，7+8＝15”也是密率有趣之处。那么密率的准确表现在哪里？很多数学家都对此问题作了论述，参见文[3]、[4]。其中文[4]用一个初等不等式非常巧妙地证明了 “若既约分数 比 更接近圆周率 ，则分母 一定要比16586要大”，证明过程虽不复杂，但恐怕一般的数学爱好者难以想到。下面我们就借助计算机的高速运算能力，用笨办法来解决。
“要找比 更接近于π的分数，而且分母尽可能小”转化成数学语言就是“找一对正整数p，q，使满足（1） 比 更接近于π，也就是 ；（2）要求p尽可能小”，进一步转化成超级画板的程序语言如下：
z=355/113; pi=3.14159265358979;
d=z-pi; a=z;
for(p=3;p<113;p=p+1)
{for(q=floor(p*(pi-d));q<floor(p*(pi+d))+1;q=q+1)
{if((q/p-pi)^2<(z-pi)^2)
{a=q/p;}  else{a;}}}
我们在程序区按“CTRL+ENTER”执行此程序，计算机返回“>> (355)/(113)”，这说明在分母小于113的情况下，找不到符合要求的分数。假如我们将“for(p=3;p<113;p=p+1)”一行中的p=3改为p=113，p<113改为p<1000，运行之后，计算机仍然返回“>> (355)/(113)”。耐心地做下去，最终发现符合要求的分数是 。进一步计算，我们就会感受到 的神奇所在：虽然π的另外一个渐近分数 的“简单程度“与它差不多，但与π的绝对误差却约是它的312倍；而绝对误差仅比它约小0.2％的π另一渐近分数 ，却比它复杂得多。只有深刻感受密率的奥妙，我们才会发自内心敬重祖冲之这一伟大的数学家。
利用超级画板，我们还可以作很多关于π的探索，远不止本文所列的几个例子，感兴趣的朋友可以自行探索。笔者曾向齐民友先生演示超级画板，齐先生看后大发感慨，说现在很多数学教学只让算不让看，犹如音乐只让研究不让演奏，用超级画板教数学真正能够让学生看到数学，看懂数学，他目前也正着手翻译《可视化的复分析》。这也就是本文题目的来由。

参考文献
[1]  刘新求,张垚.如何开发π的教育功能[J].数学通报.2006.2
[2]  张景中，彭翕成.动态几何教程.北京：科学出版社.2007.9
[3]  华罗庚.从祖冲之的圆周率谈起[M].北京：人民教育出版社,1964
[4]  张景中.数学家的眼光[M]. 北京：中国少年儿童出版社.2002