仿射变换

lisubo

各位大侠，请问如何对平面上的一个仿射变换的定义从几何角度解释？为什么不共线的三对对应点唯一确定一个仿射变换（画板文件里的是代数表示形式）

lisubo

1# lisubo

myzam

1# lisubo
二维仿射变换为：
x‘=ax+by+c且y’=mx+ny+k,
你数数里面的参数有a，b，c，m，n，k共6个所以要三点确定，三点不共线就才可以创建独立的
方程组，最后解出唯一的a，b，c，m，n，k。仿射变换就是可逆的线性变换。
仿射几何可以用代数法研究，也可以用几何法研究，但是几何发展到后面，你就会发现几何与代数高度的统一研究几何和研究代数差不多，一般大学里面都是用代数法研究，几何法研究几何很难进行高深的研究的。
顺便，象画板里面的透视变换就是射影几何了。

lisubo

3# myzam


赵老师，多谢您的仿射变换的代数角度的解答，我不明白的是几何解释，比如设T是平面π上的一个仿射变换，这如何从“平行射影链”的角度解释这一仿射变换是有不共线的三对对应点唯一确定的呢？
另外平面上的仿射变换是空间概念吗？下面的截图是空间平面间进行平行投影链再返回原平面的结果。
另外您说的透视变换指什么？画板中哪里有？

myzam

4# lisubo
仿射变换的的逻辑体系有两种：
第一种，就是你看的这种，把仿射变换定义为平行投影的积。
第2种，就是代数法定义，我们再大学里面学的是代数法。
这两种方法其实是一回事。采用平行投影定义，研究问题到后面，最后还是要回到代数法上去。
仿射几何分为平面仿射几何与空间仿射几何，所以仿射变换自然就有2维和3维之分。
你上面那个图应该是作出一个点的仿射变换的象。它用来说明仿射变换就是一列平行投影的积。
上面的作图是抓住共线三点的单比不变，这是仿射变换的特征。透视变换就是画板里面你可能看到过的中心投影的那些图象。比如初中位似.你看的这部书，不是讲仿射几何的主流教材。估计是函授之类的教材。

lisubo

再次谢过赵老师的耐心讲解，请赵老师推荐一本讲仿射几何的好书？

myzam

6# lisubo
你到超星网去看，只要是大学的数学教材：《空间解析几何》，这里面都有仿射几何的内容。书很多的。

myzam

4# lisubo
这个图是二维仿射几何，叫仿射对应。
对应和变换的差别：集合A到自身的映射叫变换，上面是从一个平面到另外一个平面的映射，只能叫仿射对应。从几何角度解释不共线三点确定一仿射变换：是这样的的，仿射变换保持单比不变，然后利用此可以写出变换式，由变换式就可以说明不共线的三点确定唯一的仿射变换。我曾经在一本函数教材上看到的逻辑体系就是这样的。所以研究几何直接用代数法最好了，少走弯路。学了代数法，回头看几何法就容易多了。

lisubo

8# myzam


好的，赵老师  非常感谢

xiaongxp

斜二测定义的仿射变换.gsp (7.29 KB)

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2013-6-2 00:04