柳烟

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2010-12-7 22:01

柳烟

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2010-12-7 22:03

czmmr1

学习，谢谢！

xiaongxp

感谢柳老师指正“画板分形常用工具箱”中z^k的错误，现已在6#原位置更新。

xiaongxp

原位置再次更新了“画板分形常用工具箱”，新增了复数的模工具、辐角工具、距离工具、两个p示性数工具。

xiaongxp

练习10. 反函数迭代(逆迭代)法IFS-分形的画板实现
     分形具有局部与整体的自相似性，也就是说局部是整体的一个小复制品，只是在大小、位置和方向上有所不同而已；而数学中的仿射变换是一种线性变换，它正好具有把图形放大、缩小、旋转和平移的性质。因此，产生一个复制品就相当于对图形作一次压缩仿射变换。于是，从原则上说，任何分形图形都可以用一组压缩仿射变换来描述或生成。
     但是，如何求出分形的压缩仿射映射变换，提取其IFS码，这是分形几何学一直没有彻底解决的难题。然而对于一些较简单的整式或分式型迭代格式的分形，我们可以用反函数迭代法来构造其IFS分形，如练习1中“逆迭代圆IFS-Julia集”。下面再以“z→z^(7/4)+c“格式的分形为例，练习这种反函数迭代法的画板实现。
     反解z=w^(7/4)+c得w(m+1)=(z-c)^(4/7)*e^( i*2mπ/7)，其中m=0，1，…，6，从而得到函数迭代系统{W(m)：z→w(m)；m=1，2，…，7}。画板实现如下：
一、构造迭代格式：
     1．打开“复分形扫描线框架【可调小扫描线】”，删除点P、Q、T0、r、p0，将标题改为“逆迭代IFS： z^(7/4)+c→z”，改k的精确度为“十万分之一”，输入“4/7”；
     2．调用“画板分形常用工具箱”，先后用“z[1]－z[2]”工具和“z^k” 工具，计算出w1的横纵坐标，绘制点W1，并以坐标原点为中心，将W1递次逆时针旋转2π/7，得点W(m) ，m=2，3，…，7；
     3．度量出W(m)，m=1，2，…，7的横纵坐标后隐藏这些点；
二、构造随机变换点
     4．作七等分概率轴和点P，用“区间示性数”工具仿练习8构造示性数，m1~m7，计算变换点横纵坐标：
            

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2010-12-27 00:02

            

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2010-12-27 00:02

绘制变换点w；
三、迭代成分形
     先将P合并到概率轴后，作z→w，P→P，深度为n的随机迭代，显示为“完整迭代”，保存后变n=50000，得IFS分形图（建议c=4.5）。
                        

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2010-12-27 00:17

xiaongxp

练习11. Apollony分形的画板实现
      创建Apollony分形由三个相切的初始圆开始，第一步在三者间向内作一个公切圆，第二步又在其中任意三圆之间分别作三个公切圆，
              

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2010-12-31 17:43

   

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2010-12-31 17:43

……以此类推，经过n次重复(迭代)，得到Apollony分形：
                                          

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2010-12-31 17:43

      可以看出，Apollony分形呈现出三轴对称性，其中每一个圆都恰与周围三圆相切，我们可以将其看成是以其中任两圆为基圆将第三圆向内压缩而成，由此可知Apollony分形是由三个压缩变换(Moebius变换)生成，若分别以三点O1(1，sqrt(3))、O2(1，- sqrt(3))、O3(-sqrt(3) ，0)为圆心，sqrt(3)为半径的圆为三个初始圆，可以求出这三个压缩变换为：
                   W1：w1=3(sqrt(3)+1-z)^-1-sqrt(3)+1
                   W2：w2=w1·e^(i·2π÷3)
                   W3：w2=w1·e^(-i·2π÷3)
下面构建这个分形。
一、构造迭代格式：
     1．打开“复分形扫描线框架【可调小扫描线】”，删除点P、Q、T0、r、k、p0，将标题改为“IFS-Apollony”；
     2．计算sqrt(3)+1-z横标和纵标，调用“画板分形常用工具箱”中“1/z”工具计算(sqrt(3)+1-z)^-1 ，分别双击其的横纵标编辑为w1=3(sqrt(3)+1-z)^-1-sqrt(3)+1的横纵标，绘制点w1，并以坐标原点为中心，将w1递次逆时针旋转2π/3，得点w2、w3。
二、迭代成分形
      作z→w1，z→w2，z→w3，深度为n的迭代，显示为“完整迭代”，保存后变n=10，得IFS- Apollony分形。
                                    

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2010-12-31 17:43

      如果将Apollony分形以单位圆基圆施行三次反演变换，我们将看到一个更加美丽的分形——四圆极限集。下一次将开始练习圆的极限集的画板实现方法。

xiaongxp

在原位置更新了“画板分形常用工具箱”和两个扫描框架，感兴趣的板友请自取，如在运用中发现有什么问题，请不吝指正。
    在新年来临之际，祝本坛全体朋友们身体健康、事事如意，祝【画板论坛】来年更加红火，坛友千千万！

xiaongxp

用圆作最终迭代的IFS-Apollony分形，能更好的反映圆的压缩过程。
圆的最终迭代：                           

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2011-1-1 17:11

圆的完整迭代：

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2011-1-3 00:49

xiaongxp

练习12. 圆的极限集分形的画板实现(1)
     接练习11，我们来作Apollony分形及其以单位圆为基圆施行三次反演变换，所得的四圆极限集。这里，我们练习一个新的实用技术——用Moebius变换构建圆的极限集的方法。
一、构造迭代格式：
     1．作出四个基圆，其中三个圆为等圆且两两相切，第四圆外切于前三圆，如图所示(为使所作分形的结构可变，我们以一点一线段作圆，将四圆拼成相切。)：
                  

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2011-1-2 18:30

  
      2．先在空白处任取一点z，再调用“画板分形常用工具箱”中“Moebius变换1”工具，依次匹配圆A、点z，得点A1；同法作点B1、C1、D1。
     到此我们可作z→A1，z→B1，z→C1，z→D1深度为n=6的迭代，保存就得到Apollony四圆极限集了。这是一个确定性分形，增大n才会使图形更细腻，但增大n会使计算机速度减慢，甚至死机。我们还是作随机分形。
     3．分别度量A1、B1、C1、D1的横纵坐标。
二、构造随机变换点
     作四等分概率轴和点P，用“区间示性数”工具仿练习8构造示性数，m1~m4，计算变换点横纵坐标：
                    

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2011-1-2 17:38

                    

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2011-1-2 17:38

  
绘制变换点w。
三、迭代成分形
     先将P合并到概率轴后，作z→w，P→P，深度为n的随机迭代，显示为“完整迭代”，保存后变n=1000，并调好各区间上的概率，使图形棱角更分明，再使n=50000，得IFSP-Apollony四圆极限集分形图。
               

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2011-1-2 18:30

               

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2011-1-3 01:29

下面文件更新了，增加了圆迭代，速度有点慢