用压缩变换制作谢氏（Sierpinski）三角，体会IFS和吸引子

myzam

前言：   
    我想把自己对分形的感受和理解写出来，共大家分享。分形研究的范围是非常
广泛的，从几何到动力学，乃至于对地震预报都有所涉及。作为数学老师我感兴趣的是分形的纯
数学部分，从分形的维数到分形的作图是如此的引人入胜，让你不得不对分形学习下去，分形
最能激发我们兴趣的是作分形图，那美轮美奂的分形图，令人陶醉其中，但这只是外观，我们总
是希望能对分形图有更多的认识，这就无法回避分形理论。为了让作图更有乐趣，我不得不去涉
及一点分形的数学理论。虽然分形理论的学习，远远没有画图那么有乐趣，但是这是理解分形绕
不过去的坎，只要坚持走过去，我想对美轮美奂的分形图的理解会完全不一样。
                                      遵义五中 qq449860770 赵卫东 2013.5.6
【目录】
一.IFS与分维介绍
二.统计分形（无规分形）的实验
三.++++
四.++++
五.+++
六.+++
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下载(作者的多镜头复印机理论对分形的讲解深入浅出，值得推荐)：

分享一本好书：分形几何学 作者 陈隅

柳烟

平面上的二维Cantor 集：

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2013-5-2 18:55

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2013-5-2 18:55

谢谢赵老师推荐好书，整此书中的一个分形：平面上的二维康托集。

myzam

2# 柳烟
柳师动作就是快 ，呵呵。这本书确实不错。对普及分形的知识恰到好处，太简单了只能走马观花，太难了，是雾里看花。
另上楼的图形的相似维数=豪斯多夫维数=ln4/ln3≈1.26（介于1，2之间），所以其长度是∞，面积=0.
上图的豪斯多夫维数计算(启发式计算，即不严格计算，阅读这段文字请把测度当体积理解就可以了)：
设上图的点集合为F，其维数为s，
当进行了1次迭代后，F包含了4个全等的小F，
分别记着F1，F2,F3,F4.那么，它们的豪斯多夫测度依次为H^s(F),H^s(F1),H^s(F2),
H^s(F3),H^s(F4),故由测度的性质，知道：
H^s(F)=H^s(F1)+H^s(F2)+H^s(F3)+H^s(F4),测度可以看成的体积的推广，
体积有比例性质，就是边长缩放k倍，体积就缩放k^3倍，豪斯多夫测度具有一样的比例性质
(这条性质是分形的基础的基础)，上楼作图时是缩小1/3的比例，故豪斯多夫测度就会缩小
(1/3)^s,就是H^s(F1)=(1/3)^s*H^s(F),所以H^s(F)=4H^s(F1)=4*(1/3)^sH^s(F),
假设H^s(F)存在，且有限（这就是计算不严格的地方），两边约去它，
得到1=4*(1/3)^s,解得s=ln4/ln3,这与它的相似维数相等。
上图的相似维数的计算
我们设想最初的正方形边长是1，作图中，我们把边长缩小了1/3,进行一次迭代后
会得到4个小图，它们与原图相似。这4个小图相互间是全等的，原来正方形的
面积是1，故1=4*(1/3)^s（s为图的维数，想象一下，如果是边长为1/3的
正方形其面积是（1/3）^2,2是维数，但这个图的维数是s，故为
1/3的s次方），解之，得s=ln4/ln3.
测度：可以理解为面积，长度，体积，集合的元素个数的推广。
把它当长度，面积，体积理解不会有多少偏差。
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浏览：分形科普文章
网上阅读书籍 作者 张济忠： 《分形》
找一本完全适合自己的分形书，估计这样的书还没写好。每一本分形书我们只是选定其中
的部分章节阅读学习，我想就可以了。过于科普的分形书我想不会有什么收获的，过于
专业的分形书又等同于天书，最好的办法是多找几本书进行拼凑式的阅读。
张继忠的这本书最精彩的章节是：分形的数学基础，读了这章后，可以达到了解，认识
分形的维数这个目的，能够理解豪斯多夫维数，相似维数的概念，学习分形不知道分维，是
一种遗憾。而张的这本书恰好可以丰富分形维数的知识。

myzam

分形几何中的幂律
1.设长度是L的线段，用长度是r的尺子去度量，如果测量了l次，
这条线段的长度就是l=L/r"尺"，故l~r^-1.（当然这最后的单位是r了）
2.面积是A的正方形，用边长是r的小正方形去度量，我们说其面积S=A/r^2“平方尺”，S~r-2
3.体积为V的正方体，用边长为r的小正方体去度量，我们说其体积v=V/r^3.v~r-3.
4.类推，一分形的维数为D，用尺子r去测量它，如果测量了N次，则有N=r^-D,
这类结论在分形中就叫幂律。
一个图形是分形，总是有幂律成立的，不成立幂律的通常都不是分形。
5.幂律通常在一定的范围内成立，幂律成立的范围叫无标度区间。
或者说在无标度区间内图形才是分形，超出了这个范围图像就不
再认为它是分形了。
注：“~”的意思就是，如果两个量，在n充分大后，这两个量的比的
极限为1.可以粗约的理解为约等于。

myzam

分形中的维数：
1.相似维数：
   设F为一分形，把F缩小r得一小分形F1,图F如果包含了N个F1，则定义
F的维数D=|lnN/lnr|。
   例子：Sierpinski三角进行一次迭代后，它包含了3个小的谢氏三角，故N=3,r=1/2,从而
谢氏三角的相似维数D=ln3/ln2.
2.盒子维数： 分形F，放在平面网格中，平面网和F的交集非空时，这样的平面网格数是N(r),
设平面网格的直径是r，则定义盒子维数D为 |lnN（r）/lnr|在r—>0时的极限。
说明：在《分形几何-数学基础及其应用》(英)这本书中证明了盒子维数的定义中，如果盒子是
坐标网格，r可以取为边长，如果是球，r可以取为半径，并且求得的维数是一样的。在后面
实验求盒子维数时，r取的就是网格的边长。盒子维数用的盒子其实可以是任意的覆盖，并不
是说一定要规则的盒子。
3. 豪斯多夫维数：
a. 在平面上取一点p，作出以p为园心，半径为δ的园，记作U(P,δ)，这个园叫点p的邻域 。包含园
的边界的叫闭邻域，不包含边界的叫开邻域。
b.开覆盖：设A为一平面点集，在A中任取一点P，作出点P的开邻域，当P在A在运动时，可以作出
一组集合A的开领域U_i,如果这组开邻域的并集包含了集合A，就说这组开邻域为集合A的一个开覆盖，
简称覆盖。
c.上下确界：
设A为一数集合，A的上界的最小值就叫A的上确界，记作supA,
而A的下界的最大值叫做A是下确界，记作infA.
d.点集的直径：
  设x，y是集合A里面任意两点，其距离|x-y|的上确界sup{|x-y|}就叫点集A的直径。记着|A|.
e.设F为一分形，｛U_i｝是F的一个δ覆盖，首先计算U_i的直径为|U_i|,
  其次计算直径的s次方：|U_i|^s,并求和：Σ|U_i|^s，
  最后，取这个和的下确界inf{Σ|U_i|^s}，这个值记作H_δ（F）,当δ—>0时，它的极限值，
就叫做分形F的豪斯多夫测度(Hausdroff),该测度记作：H^s(F).
f:豪斯多夫测度的一条性质：
总是存在一个数D，当s>D时，H^s(F)=0.当s<D时，H^s(F)=∞。这个数D就叫F的
Hausidroff（豪斯多夫）测度。当s=D时，豪斯多夫测度的值可以是0，∞，和其它常数。
豪斯多夫测度就是平时的长度，面积，体积，集合中的点数这些概念的推广，
h.豪斯多夫测度的又一性质---比例性质：
设T为一相似变换，相似比为k，则
    H^s(T(F))=k^s*H^s(F).
文字叙述：相似变换的象的H测度比原象的H测度等于相似比的s次方。
你类比相似三角形的面积之间的关系就能理解这
里的含义了。比例性质是分形理论的很重要的基础。
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还是图片显示符号清楚：










用类似的方法可以计算Sierpinski三角的H维数。有趣的是我们很容易用定义计算线段
y=2x(x在0~1变化)的H维数，而且值就是1，但是当我们用H定义去计算y=2x*x的H
维数时，我们很容易求出维数D<=1（维数的上界，大多数情况下维数的上界就=维数）,
但是确很难确定：D>=1（维数的下界）.这说明应定义计算H维数
并不方便，H维数的意义在于把分形和测度联系了起来，便于数学研究。其实Hausdroff
维数还有一个定义，类似于盒维数的定义，只是要把盒维数的N该为覆盖的个数，其余相同。
Hausduoff维数通常采用启发式计算，在大多数情况下启发式计算的结果都是正确的。
所以对H维数的计算，最值得推荐给大家的就是启发式计算，它虽然不严格，但是确可以让
大家都能体会到H测度的计算。几何画板要是可以使用mathtype插件就好了。但愿6.0版可以。
附：Cantor集合的维数计算是按我自己对维数的理解，写出来的，证明仅供参考。
H测度用定义计算时，要做两方面的事情，一方面是计算H测度的上界，这只要对一个特定的
覆盖计算就可以了。另一方面要计算H的下界，这要麻烦的多，由于H测度是通过下确界定义的，
所以H测度。
的下界的计算要对所有的覆盖计算。相似维数计算的结果常常和H维数是一样的。

myzam

这是自仿射分形，IFS由三个相似变换和三个仿射变换构成，中间的蓝色不是上色得到的，本图
没有上色。

zhongba

作Sierpinski三角，直接用变换菜单的缩放命令定义这三个相似压缩变换，若作深度迭代，文件可小至2.62k，若只作迭代可小至2.42k

myzam

7# zhongba
你误解了我写出三个变换的意思，那三个变换是用来明确的阐述什么是IFS,什么是吸引子。不是论述哪种做法简单。如果直接用几何法做谢氏三角，那么你永远都对IFS,吸引子不会有亲身的感受的。不尝尝梨子，梨子甜不甜就不会知道。

myzam

体会不一样的分形类别
说明：
a。沿x，y轴方向的压缩比相同的变换叫相似变换，如平移，旋转，反射。
b。沿x，y轴方向的压缩比不同的变换叫仿射变换。相似变换是仿射变换的特例。
c。自相似分形：局部和整体相似的分形。
   自相似分形里面的多个相似变的其压缩比可以不同。
   定理：设IFS有相似变换S1,S2,S3构成，其相似比分别为r1，r2，r3，IFS的吸引子为F，
   通常是分形，设F的Hausdroff维数为D，则r1^D+r2^D+r3^D=1.
   这个结论成立的条件是各相似部分基本不相交，准确的讲就是它们的交集是0测度集合。比如
  各相似部分可以有共共点，但却是孤立点且很少的一点。
d。自仿射分形：局部经过仿射变换后可以得到和整体全等的图形。
   能够熟练的计算这类分形的维数，你就是数学家。下面是事例：

含多个不同的相似变换的分形---自相似分形


由仿射变换构造的分形---自仿射分形


谢氏三角的空间变形（下面的第一图是空间图像在xy平面内的投影图）
这个空间分形的相似维数D=ln6/ln2.
这个空间分形是把等边三角形三边取中点，这三中点连接起来，得4个全等的小等边三角形，然后，把正中间的等边三角形拉向空间，在空间形成一个正四面体。如此反复而也。花菜就是这类分形。

myzam

迭代函数系统
玩IFS首先要明确什么是IFS，这样玩起来才会有乐趣。
下面我采用陈隅老师的多功能复印机的说法描述一下。

IFS告诉我们，作分形图点与点间连不连续其实理论上最后迭代的结果都是一样的，
所以用IFS作分形图连线不是必须的。你可以试试连线制作的Koch和不连线制作Koch curve，
观察效果。
最后什么是IFS,可以这么说：IFS=多功能（或叫多镜头）复印机。其实，陈隅老师的多功能复印机在分形里面是一个定理，可以参考书籍
《分形几何--数学基础及其应用》英国人写的，是一本关于分形的数学系教材，
这本书网上多的很。也可以在我的百度云下载
也就是下面这个定理的通俗讲解：