myzam

盒维数概念一例
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做实验时请使用坐标距离计算盒子的边长。我国海岸线就是分形，其维数的测定就可以用这个
方法。海岸线的维数一般在1.2左右，所以koch曲线可以很好的模拟海岸线。可以用园去覆盖
，用园的直径作为r计算，求出的就是叫覆盖维数了。分形的维数定义繁多，不同的定义会得到
不同的结果。从我查阅的资料看，了解分形，只要了解这理列出的2种维数就可以了。如果觉
得麻烦的话，只了解相似维数就够了。但是不了解维数，我想对分形的认识就会有一种遗憾，
因为我们是数学老师，总得要多理解一点分形的理论知识才好。
分形这门学科还在发展中，所以名词叫法根本就不统一，没必要去问谁叫的对，谁叫的错。
翻开不同的数，如果你足够细心的去看数的话，会发现有很多问题，比如，我们大学里面
熟悉的数学分析和实变函数里面的覆盖都是开覆盖，但是豪斯多夫测度的定义确违背习惯，
使用的是闭的覆盖。我们无法确定那本书是权威，也只能全盘接受，等等。
采用实验估计盒维数时，r取盒子的边长就可以了，因为直径是边长的根号2倍，带人估计式
会消去它。如果以园为覆盖去估计盒维数，同样r不用取直径，取园半径就可以了，道理是
一样的。

myzam

IFS的又一个例子---二维的Cantor集合



写出变换是便于数学研究，并不是说这么画图简单。用变换来做这个分形要修改压缩比是很简单的事情，不同压缩比效果不一样。另请把说明中的H^s(F)测度当面积理解就可以了，只是这个面积的维数是s吧了。这个例子和前面柳烟的例子对比说明了IFS就是一台多功能复印机，有线无线进行迭代后
输出的图像理论上都是一样的。当然实际的艺术效果还是有差别的。分形应该属于几何学的范畴。
总结：
    IFS就是一台多功能复印机，
    特殊的自相似分形的维数可以计算，分形的维数有多种定义，这有别与传统的拓扑维数。
    通常分维会大于等于传统维数。
    自仿射分形的维数计算及其困难，如果你可以熟练的计算，你就是数学家。
    分形中的幂律本质上反映了分维的存在。
    测度可以和长度，面积，体积，集合的点数类比理解。
------关于IFS的说明到此结束。

yandongtai

12# myzam

你老兄对问题的认识总是那么深遂，佩服啊！

myzam

13# yandongtai
你好，呵呵。我是突然对分形有点兴趣了。又想看看分形的书了。看了我就把我的想法贴出来，便于大家讨论。要是读大学时能有这过几何画板玩，学习起来一定会很有乐趣的。

yandongtai

赵卫东老师：
你一上手就对问题能进行较深入的理解，就像你研究的三维问题一样，3d坐标系2011-7b 的相关文件我都下载，好好研读了一番，以前还向你请教过，但还是不得要领。因为这些都要很好的数学功底，虽然我是数学老师，现在教高三，也只会一些解题（我个人认为一味解题，对培养学生的智力其实意义并不大，纯粹数字游戏，学生学习主要为了高考），而超过教学的数学知识已经几乎忘记了。其实学习几何画板我已经有好多年了，这段时间主要研究分形。好在高考即将到来，等高考结束以后，就有很多时间进一步学习画板技术，（我学习画板主要是用于玩数学，偶然也用于教学，用于展示一些图形的动态变化，只是画板功能的极小一部分）。


关于IFS我也看了一些书，作了一些分形图形，正在渐渐深入理解中。
但我还是有几个问题想请教赵老师：1.论坛上有关于IFS分形扫描算法思考及解决办法，我问了论坛上的几位老师，依然不理解，相关GSP文件中只有数据，没有说明，真不能理解，希望赵老师指点一二。
2.关于赵老师的相关研究中的展现出的一些较高深的数学知识，赵老师为什么掌握的如此之好，感觉是信手拈来。(这个问题有点八卦，我96年大学毕业，到现在高等数学知识几乎完全忘记了，因为教学也不用啊，特别是随着年龄的增长，对数学理解也越来越迟缓。)

不好意思，话有点多！

myzam

15# yandongtai
老师你好：
  你可以告诉我你的名字吗？这样叫起来亲戚。你说的几个问题，是这样的
1.我大学毕业后，我重新把专业书读过一篇的，有的专业书读了不只一遍。所以现在还能
  依稀记得一些东西。毕竟大部分时间都是弄点高中的题。
2.我非常同意你的观点，一味的教学生解题不是办法，没多少意思，常常是费力不讨好。
3.你提到的论坛的IFS，我还真没看过它们的，所以我不知道怎么回事。
4.我对分形也没有学过，因为大学没这么课程。我也是最近对它有了兴趣。我们就一块学习，
  交流。
5.我现在还不想马上取研究画图的方法，我想为自己先丰富一下理论知识然后再研究画图。
6.分形板块我去看文件也很费力，原因是我用代数法扫，和他们用的体系不一样，说明太少了。不过慢慢的来，万变不离其中。我们一起学
习分形吧。共同进步。

myzam

二.统计分形
分形可以分为一类是自仿射分形，它包含数学分形（又叫有规律的分形），统计分形（无规分形）。
还有一类分形的典型代表就是自仿射分形，如果采用反演变换就可以得到自反演分形等。
下面的例子是Koch曲线，把中间段向不同的方向随机旋转一个角度，得到的统计分形。
概率的引人是通过一个滑块，滑块进行随机取值，得到概率p，用p*120°，-（1-p）120°，
构造两个随机角度，由此得到分形。这样的分形的条数是个天文数字，如果迭代的次数为4以上时。
做一做就明白什么是统计自相似分形了。
1.这个事例没有写出变换式，是直接用几何法做的。
2.直接用几何法做是不是就没有了IFS?否！
  它同样包含了4个压缩变换S1,S2,S3,S4,它们同样是IFS.没写出变换式不等于客观上不存在这
个变换。是否是ifs要避免形而上学，象这样有明显写出的变换式就是ifs，不明显的写出来就
不是ifs是不对的。




上图是同一个分形，一个是用几何法做的，看不到IFS,一个是明显的写出了IFS.
这个统计分形虽然加入了概率，但是对于每一个固定的概率测度，电脑显示出来的
那部分，它们还是属于相似分形。
附:旋转变换是用7b-create tool包中的“rotate （x，y）t”工具完成的，手工
输入容易错误。作图中有意留下了痕迹，这样便于互相交流。概率的引人可以用
滑块，也可以用参数的随机取值，你自己看着办。但是变换一定要压缩变换，否则得不到
分形（想一想前面的多功能复印机的原理），概率测度的值必须在区间[0,1]内变化。
所谓压缩变换，就是两点间的距离
经过变换后，距离变小了。平移，旋转，是特殊的压缩变换。压缩变换可以是线性
的也可以不是。

yandongtai

谢谢你的坦诚相告！
严东泰  江苏省武进高级中学

myzam

18# yandongtai
严老师好：
  感谢画板，这么远的朋友我也交上了 。高兴。呵呵。