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标题: 粗论分形 [打印本页]
作者: 分形几何    时间: 2010-2-26 21:12     标题: 粗论分形

分形有很多分类，分形到目前为止还没有一个统一的定义，有的只是对分形描述性的解释。复变分形从本质上来说是对平面区域作的变换。只不过这种变换的手段是我们平时不常用的，尤其是初中教师基本不接触的一种变换——迭代。就拿Mandelbrot集来说，它只是反复地把复数运算z^2+c作为自变量的值输入作为新一轮计算，这种计算重复多次就是我们所说的迭代，把迭代的最终值（是一个复数）相关的一些量作为对初象的色彩值，产生了一个新的点，这个点与原来的点是同一个位置，注意仅仅是位置相同，它所代表的可能是无穷远的一个点，因为这个点的色彩是与迭代终点相关的，实质是把平面内的点用一个新的点表示出来。
作者: inRm    时间: 2010-2-26 22:12

期待着分形大师继续写下去...
作者: 分形几何    时间: 2010-2-26 22:54

呵呵，我可称不上大师。也只是听说过分形一词。分形图形在中国并不热，与分形在国外一出现立即引起人们的关注，但在中国，到现在还有很多人没听说过分形一词。最早引起人们注意的是分形图形。被其炫丽的美所吸引。玩起分形的人很少有不被迷住的。刚接触分形时，就不知道累。分形有很多专业软件，那些软件生成分形的速度非常快，迭代次数可以达到几十万，而画板作分形，我想尽了办法也只能迭代到3000次左右，并且绘图的速度也相当慢。有些分形软件那绘图速度简直是无法和画板相提并论。但我还是选择了用画板来作分形。因为画板作分形可以清楚地知道是什么数学原理，而用专业的分形软件做是很快，而且生的画质也非常好，但就象人们用傻瓜相机一样，只知道是那样的，但不知道为什么会是那样的。
作者: 柳烟    时间: 2010-2-26 23:00

分形确实是一块在国内等待人们开荒的处女地，确实有其魅力，读楼主的帖子，受益不少。我也期望楼主继续写下去。
作者: sdytstl    时间: 2010-2-26 23:03

3# 分形几何

xue老师，终于见到你关于分形的高论了，期待已久了，期盼续集！若能有具体的分形实例讲解，则对我等分形“门外汉”更是万分感谢了！
作者: xiaongxp    时间: 2010-2-27 00:20

胡兄对复分形的表述言简意赅、恰如其分。支持继续写下去。
作者: 分形几何    时间: 2010-2-27 08:54

简易M集的绘制。请需要的板友下载下面的文件，并玩好这个分形。后面的部分贴子将根据这个文件所包含的相关知识进行描述。
M1.gsp (8.94 KB)

附件: M1.gsp (2010-2-27 08:54, 8.94 KB) / 下载次数 7870
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2860&k=f9042721c172b3cc328931ed6e110006&t=1714147664&sid=7zr5UR
作者: zhchgao    时间: 2010-2-27 09:00

关注这个贴子。
作者: 分形几何    时间: 2010-2-27 09:04

这个分形的绘制包括两部分，１　扫描框架的制作，２　M集绘制的计算。
１　扫描框架包括两条线和几个按钮。水平那条线段是用来固定扫描线的。不妨高为AB，在线段AB上任取一点作为扫描线的一个端点，过该点作扫描线的垂线，在垂线上任取一点作为扫描线的另一个端点。连结这两个点得到扫描线。选中垂足和点A作移动按钮，速度设为高速，再选中垂足作动画按钮，速度设为其它，值为0.2，依次选中这两个按钮，作系列按钮，命名为绘图。用文本输入工具作热字（代替绘图按钮），隐藏三个按钮。隐藏所有不必要的线及按钮，全选窗口，制作工具“简易绘图框架”，完成第一步的制作。
作者: 分形几何    时间: 2010-2-27 09:33

M集的计算是基于复变换方程：f(z)=z^2+c。根据复数的运算，设z(x0,y0)，C(xc,yc)，则z^2+c=(x0^2-y0^2+xc，2x0*y0+yc)，据此，
1. 首先新建五个参数，标签依次为x0,y0,xc,yc,n，先把它们的值均设置为1。其中n为迭代次数；
2. 作两个计算：x0^2-y0^2+xc，2X0*y0+yc。然后依次选中这两个计算结果绘制点；
3. 依次选中参数x0,y0,n，作由x0到x0^2-y0^2+xc、y0到2x0*y0+yc、迭代次数为n的迭代。这时你会发现窗口中出现了一个迭代点（因为前面设置的迭代深度n=1，所以只有一个迭代点）。选中迭代象，在“变换”菜单中作终点；
4. 度量迭代终点的横纵坐标，不妨设为xa,ya，计算xa^2+ya^2。至此我们获取了与终点有关的三个参数；
5. 为了便于修改，我们新建一函数f(x)，求出f(xa),f(ya),f(xa^2+ya^2)，将这三个函数值作为点C的着色值。
6. 在窗口中任作一点，命名为C。度量点C的横纵坐标值
7. 修改刚开始时作的参数xc,yc的值分别为点C的横纵坐标值；
8. 将刚才计算所得的三个函数值以及点C选中，用“显示/颜色/参数”菜单的浮动面板中选择RGB，此时你会发现在原来点C的位置出现了一个新点，而原来的点C不见了。选中这个刚产生的点，在属性面板中选其父对象，你会看到点C，但下面的隐藏选项打有对钩，取消这个对钩，再看窗口，点C出现了；
9. 框选点C（即同时选中点C和与点C重合的那个点）及扫描线，在“构造”菜单里选轨迹，这时你会发现在扫描线的位置出现了一条新的线段，这就是我们下面作扫描绘图的真正的扫描线。选中该轨迹，在“显示”菜单里选追踪轨迹。此时可以隐藏前面做框架时所说的扫描线。
至此完成了第二步。点击绘图按钮开始绘制M集。但你发现你所绘制出来的根本就不是我们通常看到的M集。原因出在哪里呢？改变参数x0,y0的值，使其值皆为0，再次绘图，你会看到在绘图窗口中才会扫描出通常我们看到的M集。
作者: 分形几何    时间: 2010-2-27 09:34

对大多数板友来说，我这样啰嗦是非常没必要的。只要一个文档，自己一看就清楚了。但对刚接触画板的板友们来说，这样啰嗦还是有必要的。敬请原谅！
作者: inRm    时间: 2010-2-27 10:00

茅塞顿开。令人感动的无私奉献。
作者: sdytstl    时间: 2010-2-27 10:25

11# 分形几何
谢谢xue老师的无私分享，我想这一贴会将更多的版友引入“分形”这一奇妙而又神奇的世界，建议周老师置顶，加精，好贴，再一次感谢xue老师，期待更精彩的彩色M集的介绍，翘首以待啊！！
作者: 分形几何    时间: 2010-2-27 10:39

一点建议：学习一事，要深入！思考一个问题，只有当你深入思考时，你才会发现问题，这些问题正是引你进步的主要原因。没有问题的学习，那不是真正的学习。原来求师得上的很多贴子都非常好。象张老师的《完全图》，巴恩斯利变换，庄老师的《苹果》，逃逸时间算法的M集等。每一件作品，细细探究都有学不完的东西，因为每一个问题都是可拓展的。当你把一个问题的思考引向纵深时，你会发现那真象是峡谷探险，无限的美好等着你去领略！
作者: 分形几何    时间: 2010-2-27 10:49

关于M集的问题１：为什么会随着迭代次数的增加，绘图的速度会急剧减速呢？因为运算量！可能我们平时在画板里作一个复杂的运算，再复杂的算式，电脑眨眼之间就出来答案了，但在分形的绘制里，那运算量大得惊人！打个比方说，我们设定迭代次数为100，在扫描线上取的样点为1000，电脑每画一条线，要做多少运算呢？对扫描线上的每一个点，电脑要做100次计算，这样每画一条线，电脑要做10万次计算，方能画出一条线，绘制一幅图，电脑要画很多条线，线的条数与你设定的绘图速度有关，假定要画1000条线吧，那电脑在绘制这幅图时一共要作1亿次计算方能画完。象我用的这旧电脑，绘图速度相当慢，一幅图最少也要用十几分钟。如果一个人想看看一个M集里到底都有哪些图案，穷其一生也看不完。只能说看得多与少的不同。真心希望论坛里的板友们都能积极去创作，把你所画出来的图案贴出来，让大家共同欣赏，这样我们才能看到更多的图。
作者: 分形几何    时间: 2010-2-27 10:51

关于M集的问题２　变换关系式中的两个量z与c各起什么作用呢？z决定迭代格式，而c决定图形的分布。试试看，你把点c的横纵坐标代以sin(xc),cos(yc)，看看绘制出来的是什么图形？
作者: 周传高    时间: 2010-2-27 13:27

加精！置顶。
作者: 分形几何    时间: 2010-2-27 14:04

关于M集的问题４　如何化简M集中的计算问题？
这个问题到目前为止我还没有好的计算方法，请大家针对这个问题，都作些努力。记f(z0)=c,f(z1)=c^2+c,依次类推，请给出f(z10)的最简计算表达式！
作者: 分形几何    时间: 2010-2-27 14:27

分形是个大话题，一个人的力量是不可能搞透彻的。论坛上有相当一部分板友都玩过分形，我和向老师的玩复分形多一点，庄老师和梅老师玩３D分形多一些，而榕老师用英壬画板玩得很不错，作为软件的作者方老师肯定玩得很好，只是不常教我们而已！大家都来玩，才能玩出味！分形是数学与艺术结合的产物，也许我们的艺术细胞不够多，但数学是我们的专业。起码我们有一半的优势，不玩也可惜啊！请大家都来谈都来做方能成其势！
作者: mjj_ljh    时间: 2010-2-27 14:29

15# 分形几何


“如果一个人想看看一个M集里到底都有哪些图案，穷其一生也看不完。只能说看得多与少的不同。真心希望论坛里的板友们都能积极去创作，把你所画出来的图案贴出来，让大家共同欣赏，这样我们才能看到更多的图。”
同感！读了胡兄的文章深有感触深爱启发，用画板作分形除了技术要的就是时间，等待是充满期望的也是很难熬的，我总喜欢将这一过程比作等待新生儿诞生。希望大家看了文章一定上传高质量的作品，这样才不违胡兄的初衷。
学分形一定要将M集研究透，这不是一两句话能说的完的，有大文章，有大作为，看胡兄的精彩演绎吧！一定有你想不到的精彩。最后对胡兄的劳动深表敬意。
作者: 分形几何    时间: 2010-2-27 14:45

梅兄，你的３D分形就不想让我们学习一下？我更希望你和庄老师能把你们的透视原理与３D分形与我们分享啊！如果这里是我一个人的说道，那就很无味了啊！我提这个话题只是想让玩画板（各种画板）的板友们能在玩数学的同时玩出美的滋味！爱美之心人皆有之！创造美的冲动更胜一筹！
作者: mjj_ljh    时间: 2010-2-27 14:52

梅兄，你的３D分形就不想让我们学习一下？我更希望你和庄老师能把你们的透视原理与３D分形与我们分享啊！如果这里是我一个人的说道，那就很无味了啊！我提这个话题只是想让玩画板（各种画板）的板友们能在玩数学的同 ...
分形几何 发表于 2010-2-27 14:45
相信我，我一定会支持你的，慢慢来。说不尽的分形呀……
作者: 分形几何    时间: 2010-2-27 15:06

我先贴一图吧：
m1.jpg
彩色与灰度的转换：
m2.jpg
彩色与灰度是如何转换的呢？其实就是着色参数的相等与否。如果相等，那么就是灰度模式，如果不等那就是彩色模式。

图片附件: m1.jpg (2010-3-5 11:08, 13.32 KB) / 下载次数 1551
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2866&k=6484fd7d40af311f4eeac6c7d9806e47&t=1714147664&sid=7zr5UR



图片附件: m2.jpg (2010-3-5 11:08, 11.23 KB) / 下载次数 1510
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2878&k=8c7f4a8d5e5339813e67872a713b95a6&t=1714147664&sid=7zr5UR

作者: 分形几何    时间: 2010-2-27 15:20

M集问题５　７#文件可变量有哪些：迭代公式可以任意变，大胆地变，也许你变的结果绘制出来的图形很不可观，但不要忘了，看到有意思的变换时，与大家共享！分形本身就存在着很多难以预测的因素。分形有些地方又称之为混沌。我觉得混沌一词更能体现分形的本质。小时候，早上醒来总爱呆在被窝里一阵子，看看家里那挂满灰尘老墙，看着看着就看出来一只小狗来，看着看着就看到一个老头的脸来。后来我才明白，原来当那些无数的灰尘颗粒尽管是不经意的挂在墙上，但数量大了，到一定程度就会出现区分来，当你把其中一部分从群体里分离出来时，你就会看到平时不经意的一些事物来。股市如此，无序飘落的雪花如此，马路上的脚印如此，因此说分形其实研究是大数量对象无序中的有序。在数学上用收敛与发散来说明。说来说去，可变的量有两个就是z与c，变换z都有哪些作用呢？我在前面说过，改变z可以改变的是迭代格式，这将会改变图案的形状；改变c可以改变图案的分布区域，还可以对图形进行旋转、缩放、裁剪，反射等。
作者: sdytstl    时间: 2010-2-27 16:16

未命名1.gsp (7.34 KB)
[attach]2884[/attach] 25# 分形几何
未命名.JPG
xue老师，按你说的步骤，我做出来的图形是这样的，上图是n=5时得结果，下图是n=6时的结果，n=38时做出来的形状与你上面的类似，但很小，我把源文件传上去，麻烦给看看！我有这么几个问题：
1.为什么n很小时外围有色，n较大时外围无色？
2.我做的这个叫M集吗？
3.为什么我做的很小，没有你的那么大，什么控制了它的大小？
再次感谢，终于在复数分形上有点突破，我知道我还差得远，会继续努力地！

图片附件: 未命名.JPG (2010-2-27 16:47, 16.11 KB) / 下载次数 1300
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2882&k=aaf18bcc4e3107e792b67acf55d5d116&t=1714147664&sid=7zr5UR



附件: 未命名1.gsp (2010-2-27 16:32, 7.34 KB) / 下载次数 2481
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2886&k=2e171bf147ea30b6ac001c3e9ef3320d&t=1714147664&sid=7zr5UR
作者: 分形几何    时间: 2010-2-27 16:19

26# sdytstl


迭代次数太小，你将迭代次数n改为100，采样数量改为3000，单位长度放大为1cm的6倍。再扫描看看出来是个什么样的图。
作者: 分形几何    时间: 2010-2-27 16:31

你将函数前面乘以0扫描出来的将是黑白图形，不妨先看看黑白图形。
M1.gsp (9.02 KB)

附件: M1.gsp (2010-2-27 16:31, 9.02 KB) / 下载次数 2851
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2885&k=1df9a6b245ecf199e1b68c06b8ceeb71&t=1714147664&sid=7zr5UR
作者: 分形几何    时间: 2010-2-27 16:39

26# sdytstl


首先我要感谢你认真做了！因为这样这个贴子才没有白贴！
控制图形大小的有两种方法：１、改变坐标系的单位长度，比方说你把坐标系的单位长度拉大到１厘米的5倍到7倍就可以做成大小和我作的差不多了；２、改变算式中xc,yc的系数，系数越小放大的倍数越大。
你作的肯定是M集。
为什么n很小时外围有色，n较大时外围无色？
这与计算机的数值溢出有关。当迭代次数很大时，每一个点都要计算n次，如果对平面内的某一点，其模大于１，那么这个迭代将是发散的，其迭代终点会很快向无穷远处逃逸，当其横纵坐标之一超出溢出值时，你将会看到原来的终点坐标不见了，相关的其它参数值也都不见了。这里的n是最大迭代次数，如果n很小，那么迭代之后，平面内的更多点的迭代终点不可能跑太远，所以就有意义。这样在平面内就可以绘制出这个点。你所看到的那些空白是因为数值溢出导致该点的生成点不存在，还记得生成点是以迭代终点的参数相关的颜色参数吧，着色参数不存在了，当然点也就不存了，所以看到的就是空白了。
作者: 分形几何    时间: 2010-2-27 17:05

26# sdytstl


我将你的文件调整了后的文件，你看看：
未命名1[1].gsp (7.32 KB)

附件: 未命名1[1].gsp (2010-2-27 17:05, 7.32 KB) / 下载次数 3016
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2887&k=51e40aedabf284dee6b3b99369b5de36&t=1714147664&sid=7zr5UR
作者: sdytstl    时间: 2010-2-27 17:17

26# sdytstl


我将你的文件调整了后的文件，你看看：
2887
分形几何 发表于 2010-2-27 17:05
谢谢雪飞扬老师，辛苦你了！！搞明白了，刚才调整了一下，已经做出来了。
作者: zxb    时间: 2010-2-27 19:53

雪飞扬老师终于出手了，支持一下！
作者: 分形几何    时间: 2010-2-27 20:00

谢谢张老师的支持！
作者: 分形几何    时间: 2010-2-27 22:06

前面的文件只是一个简易M集的绘制，整体上分两块。但这两块中的每一块都可以改进。请说说你都有什么样的需求呢？大家好共同改进。 我们先改进框架，再讨论分形的绘制中的计算与变化。
作者: sdytstl    时间: 2010-2-27 22:29

34# 分形几何
雪飞扬老师，我看以前你的作品与老巷老师的作品时，经常用的框架中有一个缩放比（sfb），不知他是如何得到的，又有什么用呢？
作者: 分形几何    时间: 2010-2-27 22:38

用来缩放的。比方说我想看清楚M集在某一点的结构，就可以对该点处放大，放大的倍数可以自定义，就是由参数sfb(缩放比）决定的。这样不用拖坐标系的单位长度点了。只需要点击绘图就可以了。另外还有两个参数a,b是用来定位的，也就是要放大哪一个位置的。
作者: 分形几何    时间: 2010-2-27 22:40

我发的阴阳鱼的教程那一贴子中所用到的框架还带有绘图速度的控制。你可以到那里下载看看。
作者: 榕坚    时间: 2010-2-28 00:59

交一份作业：
未命名.jpg

图片附件: 未命名.jpg (2010-3-1 12:21, 23.52 KB) / 下载次数 1365
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2903&k=1cafa3faf115abfb234bad7f8835bf64&t=1714147664&sid=7zr5UR

作者: 分形几何    时间: 2010-2-28 09:23

39# 榕坚


不错，你在着色公式里可能用到对数函数了，不知是不是？
作者: 榕坚    时间: 2010-2-28 09:51

39# 榕坚


不错，你在着色公式里可能用到对数函数了，不知是不是？
分形几何 发表于 2010-2-28 09:23
没有，因为对数函数是不对称的。不大好看。
作者: 分形几何    时间: 2010-2-28 09:52

很好!画板分形的着色很随意，单看图形有时候真的是不敢肯定到底是如何着色的。看到这些作品，真的从内心很感激你们。
作者: 分形几何    时间: 2010-2-28 09:59

从各位的分形图形来看，都还是Mandelbrot集。如果你把复数z改用三角形式表示，那么我们就很容易作出变换：f(z)=z^m+c 的图形来。其中m是任意实数。
z^m.gsp (4.33 KB)

附件: z^m.gsp (2010-2-28 09:59, 4.33 KB) / 下载次数 3243
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2907&k=bf5e4262bf7d32c2fa618109bbe3d585&t=1714147664&sid=7zr5UR
作者: 榕坚    时间: 2010-2-28 10:04

调整一下开口的大小。
4.JPG

图片附件: 4.JPG (2010-3-1 12:19, 17.99 KB) / 下载次数 1180
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2908&k=b24114ecfd0d239e8cfcdd811378081c&t=1714147664&sid=7zr5UR

作者: 分形几何    时间: 2010-2-28 10:30

42# 榕坚


对数函数是不对称的，但是在作为着色函数时，它的作用只是控制色彩的过渡，而不会体现函数本身的形状。因为对数函数在0到1内变化很快，而在大于1 的范围内变化很慢，所以用对数函数作为着色函数往往把要强调部分的色彩用0到1部分，而把其它的辅助部分用大于1部分着色，这样看起来图形色彩的区分度较好。很多专业分形软件，象Ultra Fractal中把用对数函数作为着色控制的方式称为smooth,也就是光滑着色模式。我们在后面谈到逃逸时间算法时，会经常用到这种着色模式。
作者: 榕坚    时间: 2010-2-28 10:44

42# 榕坚


对数函数是不对称的，但是在作为着色函数时，它的作用只是控制色彩的过渡，而不会体现函数本身的形状。因为对数函数在0到1内变化很快，而在大于1 的范围内变化很慢，所以用对数函数作为着色函数往往 ...
分形几何 发表于 2010-2-28 10:30
学习了，受益非浅。
作者: 分形几何    时间: 2010-2-28 11:13

m=3时的M集：
m2.jpg

图片附件: m2.jpg (2010-2-28 11:13, 21.8 KB) / 下载次数 1542
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2909&k=465ce60df0097d8d11b021d832f653eb&t=1714147664&sid=7zr5UR

作者: 分形几何    时间: 2010-2-28 12:39

分形与一般图形的不同之处是，一般图形当放大到一定程度后就会出现马赛克现象，而分形，无论你如何放大都不会出现这种现象，只能让你原来看不到的风景显示出来。下图是对M集在点（-1.74532,0）放大100000倍时的图形
Snap2.GIF
源文件： 未命名1.gsp (13.31 KB)

图片附件: Snap2.GIF (2010-3-2 08:45, 10.04 KB) / 下载次数 1534
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2910&k=d1abce170cf62b8dfa9a9552dba96267&t=1714147664&sid=7zr5UR



附件: 未命名1.gsp (2010-2-28 12:39, 13.31 KB) / 下载次数 2894
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2911&k=03b692c1f4f9c57b17b8353f58c8cc70&t=1714147664&sid=7zr5UR
作者: 分形几何    时间: 2010-2-28 13:25

Snap1.jpg

图片附件: [m=-2] Snap1.jpg (2010-3-2 08:46, 27.78 KB) / 下载次数 1612
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2912&k=3a23b3b311cc0b04e32d7ee7b73e68d9&t=1714147664&sid=7zr5UR

作者: mjj_ljh    时间: 2010-2-28 14:02

对M集的研究首先从解决以下两问题然后再变化再深入：
1、什么算法速度尽可能快一些，是几何加法还是代数加法；
2、什么算法边界尽可能丰富，是控制阈还是着色算法；
解决1、2两点都是为了放大再放大，M集的精彩全在边界，没有这一点M集就失去了意义。以上作业不知是算法问题，还是扫描时间过短，图片质量不够精细，我们要的是视觉上的冲击力，这样也才有意义。
作者: xuefeiyang    时间: 2010-2-28 14:44

这是画板的定义，选中之后，相当于主动点在扫描线上移动时，从动点的轨迹。
作者: xuefeiyang    时间: 2010-2-28 14:47

51# mjj_ljh


扫描时间过短，只是随意作的，想对初学者说明的是这个分形文档中有很多可变的因素。我提的问题4到现在还没有人回应，看来算法是个问题。究竟是几何算法还是代数方法快一点，我的经验是哪种算法都快不了。只有改进算式的表达式，也就是一次算出z^2+c的m次的值然后再迭代。但前提还是改进计算的表达式。
作者: xuefeiyang    时间: 2010-2-28 14:52

分形图形的美现在还无法充分展示，因为现在想让初学分形的人明白的是算理，而不是如何表达分形的美感。有些时候欲速则不达。所以我们还是慢慢来。我初学分形时，看那些难度大一点的算法也象看天书一般，我想，论坛上还有不少初学者，他们的感觉会和我当初一样。
作者: xuefeiyang    时间: 2010-2-28 14:58

应该说论坛上老向的不少作品比较充分展示了分形的美，但我想还有不少人看不懂那些分形是如何被创造出来的。要不，不会那么多人叫好而没有跟帖图。
作者: xuefeiyang    时间: 2010-2-28 15:06

分形为什么这么难以预料呢？是因为迭代的终点究竟会在哪个位置，不是容易确定的。主要原因是运算的次数太多了。如果象用求代数式的值那样把表达式写出来，可能迭代次数上百的，表达式可能写一本书。现在有了计算机，人们可以借助计算机的运算能力，比较好地绘制分形。其实JULIA在很早就研究并发现了Julia集，但并没有引起人们的广泛关注，而到了Mandelbrot时代才出现了分形几何。是因为Mandelbrot不仅是博物学家。他不仅对数学有着深刻的理解还精通计算机，于是精美的分形图形出现了。应该说引起人们对分形的关注正是由于分形图形的炫丽！进而引导着人们去研究分形，到现在分形技术已深入到各个学科领域。
作者: mjj_ljh    时间: 2010-2-28 15:44

这个作法我认为还是较快（我试了1000次迭代，扫描速度为较慢）和较清楚的，不管什么方法注意参数的设置：轨迹我用极细实线，采样我取2000连续。再用这个文件放大时注意放大倍数越大迭代数就应越大，期中的道理胡兄已说明。我等着大家上传放大的作品。我扫描了一些，由于时间较短，不太精细，见谅。

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作者: xuefeiyang    时间: 2010-2-28 16:03

做得太好了！这样就可以看到分形的细节了！
作者: xuefeiyang    时间: 2010-2-28 16:12

接下来我们就来研究看看如何才能提高绘图的速度和精细度！大家各尽所能。有了前面的源文件，基本算法没有什么可说的了。就是如何改进的问题了。
作者: 榕坚    时间: 2010-3-1 11:36

我怎么得到的M集图会是这样的：Z---Z^2+C。扫描还在断续中。更清晰的图还没出来。
6.JPG

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作者: xuefeiyang    时间: 2010-3-1 11:38

z肯定不等于0。
作者: 榕坚    时间: 2010-3-1 11:49

Z是0啊，Z我是用点表示的，还没合并到原点时正常，合并到原点就成这样了。等下再扫其它的。这次的我改用其它作法，准备做：Z--Z^m+C
作者: 榕坚    时间: 2010-3-1 11:55

这是m=3、4的。不知道是否一样，有没有继续扫描的意义。
7.JPG

8.JPG

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作者: 榕坚    时间: 2010-3-1 11:57

这是m=10的：
9.JPG

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作者: xiaongxp    时间: 2010-3-1 14:14

61# 榕坚
z^2是用棣莫弗公式算的吧？如是，应设角的单位为“弧度”。
作者: 分形几何    时间: 2010-3-1 14:16

63# 榕坚


你把文件发上来，我看看，到底是什么原因。
作者: 分形几何    时间: 2010-3-1 14:23

如果你用了复数的三角形式的计算，那么点是不能合并到原点的，你可以把点Z合并到点（0.00001，0），就不会出现那种现象了。试试看
作者: 分形几何    时间: 2010-3-1 14:25

因为辐角的计算，要么用度量，要么用反正三角函数表示，包括范围较大的是用反余弦，但此时x^2+y^2不能等零，否则算式无意义。
作者: 榕坚    时间: 2010-3-1 15:04

角的单位已经都考虑过了，这已经形成一个警觉。并没有涉及反三角函数。现在我也忘了是合并点之后还是我改了f函数（着色）后出现异常。总之我刚做好测试m=2时是正确的。

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作者: 榕坚    时间: 2010-3-1 15:40

现在m=2时一样，而m=3时又不一样了：
11.JPG
10.JPG

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作者: 分形几何    时间: 2010-3-1 17:12

70# 榕坚


我还没有看出来，到底错在哪里，但你这种设计有一点不合适，那就把坐标原点作为迭代初象，按正常的迭代，你的坐标系是不断变化的，相应的坐标系也应该不断变化，而在这个绘制中的坐标系是不能改变的。
作者: 分形几何    时间: 2010-3-1 17:28

70# 榕坚


我认真看了看，迭代初始值z不能取坐标原点，理由同上面所说。正确的作法是可以在平面内任取一点作为Z，作完迭代之后再把点迭代到距离原点非常近的一个点。这样就不会出现那种现象了。我按你的思路在你文件后面加了一页，作了一个：
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作者: 分形几何    时间: 2010-3-1 18:23

m3.GIF
m4.GIF

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作者: mjj_ljh    时间: 2010-3-1 18:43

74# 分形几何
请胡兄附上源文件，谢谢。
作者: 分形几何    时间: 2010-3-1 18:46

等一下，我正在用这个文件扫描图形！
作者: 分形几何    时间: 2010-3-1 18:54

未命名2.gsp (12.31 KB)

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作者: mjj_ljh    时间: 2010-3-1 19:17

胡兄逃逸区为何有白色区域，这与着色函数对不上呀？
作者: mjj_ljh    时间: 2010-3-1 19:25

我明白了。
作者: 榕坚    时间: 2010-3-1 19:40

70# 榕坚
我认真看了看，迭代初始值z不能取坐标原点，理由同上面所说。正确的作法是可以在平面内任取一点作为Z，作完迭代之后再把点迭代到距离原点非常近的一个点。这样就不会出现那种现象了。我按你的思路在 ...
分形几何 发表于 2010-3-1 17:28
修改了一下好了。初始值照样取（0，0）点。谢谢。
8.JPG

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作者: 榕坚    时间: 2010-3-1 20:47

看到了边界，有点感觉了。
12.JPG

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作者: 分形几何    时间: 2010-3-1 20:57

玩好缩放就可以看到细节了！继续！
作者: 榕坚    时间: 2010-3-1 21:32

真是张张精彩啊！可惜还是不大懂得选，眼睛都看花了。哪些是值得扫描哪些不值得扫描该如何选择呢？都是花时间的啊。
15.JPG

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作者: 分形几何    时间: 2010-3-1 21:37

玩得多了，你就知道什么是该选什么是不该选 的了。这个过程是增长经验的过程。
作者: 榕坚    时间: 2010-3-1 22:12

完了，扫着扫着机器停住不动了。还没保存哪。明天又得重来了。顺便问下：定位、放缩的工具有了。是否还有让图形旋转某一个角度的工具呢？有些图形可以旋转着扫：
m=8.JPG

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作者: 分形几何    时间: 2010-3-1 22:18

因为图形是分布在c平面上，只要将c平面旋转一定的角度就可以了。所谓旋转c平面也就是旋转c平面内的所有点，只要改变迭代公式中的c的表达式就可以了。比如要将图形旋转90图，只要将c*i就可以了。这样只需将xc,yc换成相应的-yc,xc就可以了。你试试看
作者: 分形几何    时间: 2010-3-1 22:19

可能你是想用旋转扫描？那你只要将圆的半径作为扫描线就可以了。作法类似。
作者: xiaongxp    时间: 2010-3-1 22:32

86# 分形几何
胡兄能对复数运算的几何意义了然于心，并灵活运用，令人钦佩。我也熟知Z*i的几何意义，但不曾想到这样用，硬是直接将点Z绕原点旋转90°，使扫描线长短不合窗口需求。今学到一招，谢谢。
作者: zxb    时间: 2010-3-1 22:34

怎么不讨论我作的？也有值得学习的地方啊
http://www.inrm3d.cn/viewthread.php?tid=463&extra=page%3D6
作者: xiaongxp    时间: 2010-3-1 22:47

张老师的大作我早已下载搜藏，色彩艳丽，线条清朗，一见令人印象深刻，我还在《http://www.inrm3d.cn/viewthread.php?tid=65&page=9#pid5793》向板友推荐过呢。
作者: sdytstl    时间: 2010-3-1 23:03

用来缩放的。比方说我想看清楚M集在某一点的结构，就可以对该点处放大，放大的倍数可以自定义，就是由参数sfb(缩放比）决定的。这样不用拖坐标系的单位长度点了。只需要点击绘图就可以了。另外还有两个参数a,b是用来 ...
分形几何 发表于 2010-2-27 22:38
雪飞扬老师，对于参数a、b及sfb的具体用法，还是不太清楚，烦请详细指点一下，谢谢！
作者: 榕坚    时间: 2010-3-1 23:08

因为图形是分布在c平面上，只要将c平面旋转一定的角度就可以了。所谓旋转c平面也就是旋转c平面内的所有点，只要改变迭代公式中的c的表达式就可以了。比如要将图形旋转90图，只要将c*i就可以了。这样只需将xc,yc换成相 ...
分形几何 发表于 2010-3-1 22:18
这个我想过，它应该在一开始就决定直扫还是横扫。我的意思是有些图当在已经做好后，扫描时发现有些需要直着，有些需要横着。能否想个办法可以随时实现旋转呢？象放大那么方便。
作者: 分形几何    时间: 2010-3-1 23:58

92# 榕坚

这个肯定可以。但没有作。有时间了我们再试试看。应该很空易。旋转是一次函数也就是线性变换所具备的功能。
作者: 分形几何    时间: 2010-3-2 00:00

91# sdytstl


我们还没有讨论到这一步，只是有些板友以前知道的在用。我们将在下一轮讨论里去说。不要急，先玩好基本的分形变化！
作者: 分形几何    时间: 2010-3-2 00:04

89# zxb


张老师的是逃逸时间算法，我们还没有讨论到那一步，到时肯定会分析你的作品！
作者: 榕坚    时间: 2010-3-2 00:15

笔记本的象素太低了，高倍放大后惨不忍睹啊。有好方法吗？
作者: 榕坚    时间: 2010-3-2 01:07

奔月之路：
奔月.GIF

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http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2953&k=b9e5d352192f06e8a8d295300ce29529&t=1714147664&sid=7zr5UR

作者: 分形几何    时间: 2010-3-2 11:46

没有色哪有图形啊！你是说着成彩色吧。只要建立一个与终点有关的量就可以给图形两种着色：黑白或彩色，当你选中点C之后，着色可以在显示里的颜色中选参数，有两种着色可供选择，你一看就会明白。如果你建立三个参数有两种着色方式。
作者: 分形几何    时间: 2010-3-2 11:51

96# 榕坚


分形与象素无关。我想可能是你放大之后没有相应地扩大迭代的次数造成的。你再放大时提高迭代次数试试看！
作者: 榕坚    时间: 2010-3-2 15:17

Z--Z^m+C中好象随着m的增加扫出来的都只有星星点点的图案。目前感觉最精彩的还是m=2,3，可能还没有掌握技巧吧。下面这幅图中，如果接下去想继续放大扫描，会选哪一个地方再进行放大呢？上传的图片由于大小受限，只能缩放到50%上传。

图片附件: 3-10^6.JPG (2010-3-2 17:36, 29.73 KB) / 下载次数 992
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2960&k=351df2b913b320391f82c3652fefdcaf&t=1714147664&sid=7zr5UR

作者: 榕坚    时间: 2010-3-2 15:26

96# 榕坚


分形与象素无关。我想可能是你放大之后没有相应地扩大迭代的次数造成的。你再放大时提高迭代次数试试看！
分形几何 发表于 2010-3-2 11:51
我是把Z^15+C进行放大扫描，迭代次数1000可是看到的都是零散一点一点的。所以怀疑是不是空白处画不出来。
作者: 分形几何    时间: 2010-3-2 15:30

呵呵，没有坐标怎么说清放大哪里好呢？说到这里我在想，看来大家都和我刚接触分形时一样，总想一下子就能知道分形的全部秘密，这是不可能的！有很多关系还没有搞清呢！用画板作分形的最大好处是迭代象可以与分形同处一图，而迭代象与分形图形的关系，你只能慢慢去领会，当你知道了迭代象与分形的关系时，你就知道如何选择放大的区域了。所有这一切都包含在最初的M集中。所有这些还是因为你没有真正理解好最基本的分形图形，M集是朱丽亚集的合集。我们看到的感到比较有美感的那些分形往往是一个朱丽亚集，而我们到现在还没有谈到朱丽亚集。
作者: 分形几何    时间: 2010-3-2 15:34

先玩好Mandelbrot集吧！M集的精彩在于其放大后的局部细切。所以M集的关键在于放大。如何作好放大，如果你已经玩好了最基本的分形M集，那么接下来我们就玩局部M集！第一个关键作好分形的放大。这依赖于绘图框架的放大功能！理解好这个工具，你才能得心应手地玩M集。
作者: 分形几何    时间: 2010-3-2 15:44

一个完整的绘图框架很重要。那么这个绘图框架都应该具备哪些功能呢？1.定位；2.缩放；3.绘图速度的控制；4.色彩控制参数的设置。先玩好数学分形，才能进入分形艺术的境界。分形艺术不仅仅是结构，还有色彩、亮度、饱合度、对比度、材质、透视、图形的变换、视点等等。大艺术家埃舍尔的画我想大家都看过，看过如果细细品味，你会发现他所选择的视角太妙了，他对结构等等艺术的定位都有很独特的地方，不是一般人可以窥视到的！我们不能期望达到那个水平，但我们可以朝那个方向努力，让我们那50%的优势发挥到极至也就足够了！



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