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标题: 作图问题： [打印本页]

作者: 分形几何 时间: 2010-2-4 16:59 标题: 作图问题：

教学中遇到的一些作图问题：
1.已知正方形内一点到三顶点的距离分别为1，2，3，求正方形的边长。试用画板作图说明

作者: 黑天 时间: 2010-2-4 17:59

作个歪歪的图，希望会的老师试试，我不会。

图片附件: 2010-02-04_175710.png (2010-2-4 17:59, 4.42 KB) / 下载次数 3918
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2600&k=b1a34eba6c02391c6f21bff834290e15&t=1732395605&sid=eehgpd

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-4 22:34

可以这样作

附件: 正方形.gsp (2010-2-4 22:35, 4.56 KB) / 下载次数 6196
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2610&k=3db51d72ec59c5da8132567d1f5b8856&t=1732395605&sid=eehgpd

作者: 分形几何 时间: 2010-2-4 23:14

3# xiaongxp
好！纯几何的构造，不需要动脑筋思考就出来了！如何证明这种作法的正确性呢？

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-5 00:40

4# 分形几何
作个旋转变换证明

附件: 证明.gsp (2010-2-5 00:40, 6.49 KB) / 下载次数 5749
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2613&k=ffc4c7a5d2e7a8d28520f22017212005&t=1732395605&sid=eehgpd

作者: 分形几何 时间: 2010-2-5 08:06

这个问题彻底解决了！

作者: 分形几何 时间: 2010-2-5 08:19

已知已知平面内三点A、B、C，求作一点P，使PA、PB、PC的和最小。这个点叫做费尔玛点，这个问题早已解决。
现在对这个问题扩展一下，得到
问题2：已知三角形ABC，求作点P，使PA+(1/2)PB+(2/3)PC最小。

作者: 分形几何 时间: 2010-2-5 09:19

5# xiaongxp
有了这个证明，就可以用奠基法作图了：

问题1.gsp (3.5 KB)

附件: 问题1.gsp (2010-2-5 09:19, 3.5 KB) / 下载次数 8068
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2616&k=049d89c3be9e7abbce5abeac6cb88d00&t=1732395605&sid=eehgpd

作者: 分形几何 时间: 2010-2-5 09:25

小结：从问题1的解决过程来看，旋转是几何变换中一种较复杂的变换，一般来说，这种变换的应用前题是有公共端点的两条线段相等。具备这个条件时可以将附着在其中一条线段上的图形绕着公共端点旋转，使其附着到另一条线段上，这样可以起到局部图形的重组，把一些看似无关的图形集中到一起，更容易看清楚图形之间的关系，以利于对问题的分析和解决！

作者: 黑天 时间: 2010-2-5 10:20

先作的D点，然后以2为半径作圆，作过圆心的直线，和垂直这条直线的半径，确定了点P。
再以P为圆心以1为半径作圆，和D上面的那个点为圆心，以3为半径的圆相交，交点就是A。
是这样做的吧？

图片附件: 2010-02-05_100911.png (2010-2-5 10:20, 32.07 KB) / 下载次数 3899
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2617&k=5e67ad3bedc6063e9c946082a435d228&t=1732395605&sid=eehgpd

作者: 黑天 时间: 2010-2-5 10:32

我的办法是电脑加人脑的，哈哈。

图片附件: 2010-02-05_103046.png (2010-2-5 10:32, 5.85 KB) / 下载次数 3059
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2618&k=243df05aab92df2c3a4a817e93c13687&t=1732395605&sid=eehgpd

作者: 榕坚 时间: 2010-2-5 11:26

这个问题彻底解决了！
分形几何发表于 2010-2-5 08:06

点在正方形内、外一网打尽：

图片附件: 捕获.PNG (2010-2-5 11:26, 49.31 KB) / 下载次数 2797
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2619&k=702ef61d2ee3f6d95f13c6e04bfeb2e9&t=1732395605&sid=eehgpd

附件: 未命名1.gsp (2010-2-5 11:26, 4.86 KB) / 下载次数 3760
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2620&k=08c35badc72eb9968dffc0ee0d843418&t=1732395605&sid=eehgpd

作者: 分形几何 时间: 2010-2-5 11:59

10# 黑天

不知你说的是哪一种作法？如果是8#的作法，我没有用到作圆。仅仅是旋转。

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-5 14:29

2617
先作的D点，然后以2为半径作圆，作过圆心的直线，和垂直这条直线的半径，确定了点P。
再以P为圆心以1为半径作圆，和D上面的那个点为圆心，以3为半径的圆相交，交点就是A。
是这样做的吧？
黑天发表于 2010-2-5 10:20

差不多。但按题设，应先有点P，所以你的问题也帮我发现了我的作法中存在的问题，正确的作法见附件：

附件: 一点三距离构造正方形.gsp (2010-2-5 14:29, 33.08 KB) / 下载次数 4286
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2629&k=c98e99fab9a0a62305a6e352a68b998e&t=1732395605&sid=eehgpd

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-5 15:06

12# 榕坚
轨迹用得妙，出奇制胜，高——实在是高！

作者: 分形几何 时间: 2010-2-6 00:30

问题2是关于极值问题的一个探讨，与此相关的问题与物理上的一重要光学原理有关。此问题的数学背景是：已知三个城市，欲在三个城市之间修建三条高速公路，因地理的不同，每一米的造价不同，平均比值为1：2：3，问中转站建在何处，费用最小？这个问题相对费尔玛问题难度是有点儿大，但我想既然问题类似，解决问题的方法可以类比，是不是可以用解决费尔玛问题的方法来解决呢？我在积极地思考，也请板友们试一试！

作者: 分形几何 时间: 2010-2-6 00:31

12# 榕坚
这是目前为止的最好答案！

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-6 02:04

16# 分形几何
问题2一般化:已知三角形ABC，求作点P，使m*PA+l*PB+n*PC最小（l、m、n为正数）。
① 当l、m、n为三角形三边长时见附件[教程]
② 否则P为三角形ABC的最大角顶点
(本帖重新编辑过，根据xueyeiyang21#帖，更正了表达式)

附件: 求一点，使之到已知三角形三顶点距离的某线性表达式最小[教程].gsp (2010-2-6 02:04, 19.59 KB) / 下载次数 4480
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2642&k=63b547368d91a5cdebe39058844eda51&t=1732395605&sid=eehgpd

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-6 10:08

一觉醒来，方觉结论“ ② 否则P为三角形ABC的最大角顶点”欠理性思考。正努力中……

作者: 分形几何 时间: 2010-2-6 10:30

这个问题是我两年前思考过的一个问题，当时用尺规作了一个，现在回过头来再看，竟看不明白，原来是如何想的了！但我用画板证明这种作法得到的点P确实是符合要求的！真是越来越糊涂了。想来是自从迷上了分形之后，很多原有的东西都渐渐被遗望在知识库的角落里时间太久远了！

问题2.gsp (3.48 KB)

附件: 问题2.gsp (2010-2-6 10:30, 3.48 KB) / 下载次数 5335
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2647&k=0e42016dbd5ed1d2e538c447e0929e5d&t=1732395605&sid=eehgpd

作者: 分形几何 时间: 2010-2-6 10:34

18# xiaongxp
向兄，我验证了一下，你作的点到三顶点的倍长之和不是最小的，见下面的附件。

求一点，使之到已知三角形三顶点距离的某线性表达式最小[教程]1.gsp (26.34 KB)

附件: 求一点，使之到已知三角形三顶点距离的某线性表达式最小[教程]1.gsp (2010-2-6 10:34, 26.34 KB) / 下载次数 5377
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2648&k=2fd2da8af075c4c6c45567f2d559abf6&t=1732395605&sid=eehgpd

作者: 分形几何 时间: 2010-2-6 10:35

18# xiaongxp

这个扩展更有意思了！你是不是在思考用向量乘法解决呢？

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-6 12:15

21# 分形几何
线性表达式原本为m*PA+l*PB+n*PC，是最小的。
我来研究你的作法，它可能帮我解决②
我的兴趣是尺规作图，我以为传统几何问题还是用欧几里得作图好。

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-6 13:45

这个问题是我两年前思考过的一个问题，当时用尺规作了一个，现在回过头来再看，竟看不明白，原来是如何想的了！但我用画板证明这种作法得到的点P确实是符合要求的！真是越来越糊涂了。想来是自从迷上了分形之后，很多 ...
分形几何发表于 2010-2-6 10:30

胡兄的“竟看不明白，原来是如何想的了”过去我也有同感。向大家推荐一种简单的破解方法。

附件: xuefeiyang问题2(破解教程).gsp (2010-2-6 14:04, 9.7 KB) / 下载次数 4369
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2649&k=9bb491828727d90552a1abe92cf5d638&t=1732395605&sid=eehgpd

作者: 分形几何 时间: 2010-2-6 17:56

这个线性表达式可以化简为PA+m*PB+n*PC的形式，其中m,n都是正数。不妨设原式中的l是l是m,n,l三个中最大的为l ,将l提取出来，变形成PA+m*PB+n*PC的形式，只要求出变形后的线性组合的最值就可以了。

局部解决问题2.gsp (4.29 KB)

附件: 局部解决问题2.gsp (2010-2-6 17:58, 4.29 KB) / 下载次数 5361
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2651&k=50496f2ff828fb8c4ebb1cc0262284d9&t=1732395605&sid=eehgpd

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-6 22:18

25# 分形几何
构图简捷，妙在用旋转构造相似三角形，最好把线段AD改为直线。问题仍在系数必须满足三角形三边关系上。怎样才突破这一限制呢?

作者: 分形几何 时间: 2010-2-6 22:19

呵呵，这也正是我在思考的问题，我们共同想办法！

作者: 分形几何 时间: 2010-2-7 18:41

问题3：继问题2之后的一个最值问题，已知平面上的直线a及直线a外两点A、B，求作点P，使点P到A、B及直线a的距离和最小。（A、B在直线a的同侧）

图片附件: 问题3.JPG (2010-2-7 18:41, 10.44 KB) / 下载次数 3820
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2691&k=b617439c5c5b543fdcda8f2cce6541ba&t=1732395605&sid=eehgpd

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-7 21:02

以a上线段为一边，另两边分别过A、B构造等边三角形可解决问题3.

附件: 已知平面上的直线a及直线a外两点A、B，求作点P，使点P到A、B及直线a的距离和最小.gsp (2010-2-7 21:02, 8.3 KB) / 下载次数 4129
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2692&k=11bf0b585eb94e90419895adab82909c&t=1732395605&sid=eehgpd

作者: 分形几何 时间: 2010-2-7 21:24

29# xiaongxp
这么高的效率啊！好象你早有准备一样！高！

作者: 分形几何 时间: 2010-2-7 21:28

问题4：求函数y=2sqrt(t^2+1)+sqrt((t-2)^2+3^2)的最小值.

作者: 黑天 时间: 2010-2-7 21:28

以a上线段为一边，另两边分别过A、B构造直角三角形可解决问题3.
xiaongxp 发表于 2010-2-7 21:02

构造等边三角形？
距离和等于等边三角形的高。
是这个意思吧！

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-7 21:31

30# 分形几何
问题3只是将问题2中一个点改为直线，所以可类比解决。

作者: 分形几何 时间: 2010-2-7 21:40

那个工具我早发到论坛上了。也就《阴阳鱼的制作教程》里的第一步就是作绘图框架。

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-7 21:48

32# 黑天
黑天老师真是细心之人，难怪能将控件越做越精! 板友们都要感谢你的工作。

作者: 黑天 时间: 2010-2-7 21:59

xiaongxp老师，有时间我要多向你们学习呀！
分形，我是0呀，加上高中数学都忘光了，
所以，有时候只能只能做沉默的关注！

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-7 22:13

难道黑天老师不是中学老师？这样的话，我们更应感激你的工作为我们教学带来的方便了。谢谢！

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-9 00:27

31# 分形几何
闭关思考了一天，没能解决问题4。传一个类似问题的解决方案，望能抛砖引玉。
问题2还是不能突破“三边长”条件，只有高人相助了。胡兄进展如何？

附件: 折线最短问题.gsp (2010-2-9 00:30, 8.54 KB) / 下载次数 4019
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2710&k=68c9cc91ff0ede08cc60c923fad4ce48&t=1732395605&sid=eehgpd

作者: 榕坚 时间: 2010-2-9 10:26

问题4解决的猜想（如何证明呢?):

附件: 1.gsp (2010-2-9 10:26, 4.74 KB) / 下载次数 3690
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2714&k=0e7c536e84fafe1ebc53eae75cb64345&t=1732395605&sid=eehgpd

作者: 分形几何 时间: 2010-2-9 10:34

问题2基本上解决,但现在还有些理论证明没有完成.问题4到现在也只是有一点儿思路,离解决还有很长一段距离.昨天主要在看你传给我的文件,觉得那里有很多新概念和新理念值得好好学习一下,同时觉得我们可以给其中增加不少新的内容.最好是形成我们自己完整的一个体系.几何学是一个古老的学科,随着知识与手段的更新,给我们一些新的机会让我们去更新那些已有的.不过前提是我们先掌握那些已有的.共同努力吧!我在尝试重新构建一次那里的几何结论的作图,以期扩展其中的内容.先传一个简捷的费尔马点的作法如下:

费尔马点.gsp (1.63 KB)

附件: 费尔马点.gsp (2010-2-9 10:34, 1.63 KB) / 下载次数 5537
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2715&k=cf7c86c172d578ecad2695a885e054a6&t=1732395605&sid=eehgpd

作者: 分形几何 时间: 2010-2-9 11:10

39# 榕坚
点G的坐标应该是(2,3)吧?函数的最值问题应该度量的是坐标距离而不是距离吧?不知提的对不对,仅供参考!

作者: 分形几何 时间: 2010-2-9 11:17

问题4中使函数取得最小值的t约等于0.26266,最小值约等于5.53459.这些数据只是用画板测试的结果.误差不超过0.00001

作者: 分形几何 时间: 2010-2-9 11:22

我用牛顿迭代法得到的t值是0.25924,函数的最小值是5.53458

问题4.gsp (2.63 KB)

附件: 问题4.gsp (2010-2-9 11:23, 2.63 KB) / 下载次数 6417
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2716&k=ceeb9c0ce700096b22077247f91a2714&t=1732395605&sid=eehgpd

作者: 分形几何 时间: 2010-2-12 20:00

问题5：用画板如何作过两定点且与定圆正交的圆呢？

作者: inRm 时间: 2010-2-12 22:17

这是用inRm3D做的。GSP没有轨迹线交点，就做不来了。

附件: 过两定点且与定圆正交之圆.sgf (2010-2-12 22:17, 12.34 KB) / 下载次数 5888
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2749&k=c3cb47ddd8da420dc6fae42879cbb10e&t=1732395605&sid=eehgpd

作者: inRm 时间: 2010-2-12 22:36

既然轨迹线是直线，那就在轨迹线上作直线，再作直线之交点：

附件: 过两定点且与定圆正交之圆.gsp (2010-2-12 22:36, 4.12 KB) / 下载次数 6010
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2750&k=21e6493e9dae6897f14c0e96c73d142b&t=1732395605&sid=eehgpd

作者: 分形几何 时间: 2010-2-12 23:36

45# inRm

？

作者: 分形几何 时间: 2010-2-12 23:51

46# inRm

方老师的作法的缺陷是过两定点之圆与定圆所交之弧只能是优弧，而事实上还有相交成劣弧的可能。我想可能是算法上应该说有可修改的地方，以便在更宽广的范围内符合题意。个人之见仅供参考！

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-13 03:18

问题5的简易作图思路：作一圆和两点圆的直交圆。如是

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作者: zxna 时间: 2010-2-13 13:10

未命名1.gsp (6.64 KB) 利用反演的性质

附件: 未命名1.gsp (2010-2-13 13:10, 6.64 KB) / 下载次数 6430
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2754&k=c3f1776ab0da6260ab5f2374fa58d260&t=1732395605&sid=eehgpd

作者: inRm 时间: 2010-2-13 13:22

45#、46#两个都错了，两圆正交的概念错误。

作者: mjj_ljh 时间: 2010-2-13 20:27

2754利用反演的性质
zxna 发表于 2010-2-13 13:10

双曲几何中的直线问题，庄老师您说呢！

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-16 17:12

如何用尺规作已知圆锥曲线的平行于已知直线的切线？

作者: 分形几何 时间: 2010-2-16 18:24

尺规作过一点的椭圆的切线：

未命名2.gsp (4.49 KB)

附件: 未命名2.gsp (2010-2-16 18:24, 4.49 KB) / 下载次数 8796
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2760&k=c18edfd37cf8b8dc4f26cd217d07d786&t=1732395605&sid=eehgpd

作者: 分形几何 时间: 2010-2-16 18:41

53# xiaongxp

未命名3.gsp (2.94 KB)

附件: 未命名3.gsp (2010-2-16 18:41, 2.94 KB) / 下载次数 8891
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2761&k=ff0d384d69f1837a6c01bf9248626239&t=1732395605&sid=eehgpd

作者: 分形几何 时间: 2010-2-16 20:47

问题6：求作一圆，使两已知圆关于该圆反演后是等圆。

作者: 分形几何 时间: 2010-2-16 21:16

问题7 求作一圆，使两已知圆关于该圆反演后是同心圆。

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-17 14:28

如何用尺规作已知圆锥曲线的平行于已知直线的切线？
xiaongxp 发表于 2010-2-16 17:12

研究两天不果，还是回到定义中去，仅用双曲线的第一定义，就将圆锥曲线一网打尽。

这一作图说明：
1.尽管三种圆锥曲线第一定义形式不同，但是他们是对立统一的；
2.通过实验，可向学生演示：双曲线不存在倾斜角在两渐近线倾斜角之间的切线。

附件: 用尺规作已知圆锥曲线的平行于已知直线的切线.gsp (2010-2-17 14:28, 44.87 KB) / 下载次数 7510
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=2762&k=a1cf432727b01db245c11323db2c6053&t=1732395605&sid=eehgpd

作者: 分形几何 时间: 2010-2-17 17:30

58# xiaongxp

好作品！不知向兄对欧氏几何研究到哪里了？反演中我遇到不少问题啊！

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-17 20:10

59# 分形几何
寒假期间应酬太多，静不下心来系统学习。见了问题6、7，学了几遍对应内容，没弄懂。还是要从头学起呀。
用你的复数工具Z^n作了几个mobius变换下的分形，希望得到
http://www.inrm3d.cn/viewthread. ... page%3D1&page=2中的分形，没有成功。此分形应该为Z在mobius变换下的分形，但我作的只有一个单卷，得不出双卷图案，也无可奈何，不了了之。

作者: 榕坚 时间: 2010-2-18 16:34

问题7当已知两圆的关系为内含时的解答：所求的圆并不唯一，大小可变。

图片附件: 未命名3.png (2010-2-18 16:34, 31.95 KB) / 下载次数 3173
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附件: 未命名3.gsp (2010-2-18 16:34, 17.31 KB) / 下载次数 3987
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作者: xiaongxp 时间: 2010-2-18 17:21

61# 榕坚
根据所求圆的圆心关于两已知圆有相同反演点，榕老师出人意料地用轨迹法求出此圆心，真是一着妙棋，耐人玩味！

作者: 分形几何 时间: 2010-2-18 22:53

60# xiaongxp

双卷与单卷之分在于不动点的确定，单卷应该是一个不动点，双卷是两个不动点。不动点的确定可以参考梅老师的作品。

作者: 分形几何 时间: 2010-2-18 23:07

有进展。继续完善！

作者: 榕坚 时间: 2010-2-19 13:45

问题7当两圆相交时好象没有答案。当两圆不相交时所求的圆的圆心都是成对出现的。问题6就复杂了，所求的圆应该有无数多个（不要求圆心相同，只要等圆。）无从下手。

作者: 榕坚 时间: 2010-2-19 14:57

问题6总算解决了。

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作者: 分形几何 时间: 2010-2-19 15:04

呵呵，榕老师，等圆的问题对我来说倒是好解决，就是化为同心圆的问题难解决。你再把化为同心圆的问题再进一步探究，我等一会儿发一个化为等圆的文件。

作者: 分形几何 时间: 2010-2-19 15:09

化为等圆的问题相当于解一个二元一次方程的问题，而化为同心圆的问题相当于解一个三元一次方程的问题，而三元一次方程相当难解。尽管有卡尔丹求根公式可用，但那个方程的解有时却要借助复数的运算。

作者: 榕坚 时间: 2010-2-19 15:12

卡尔丹、三元一次方程？应该是一元三次方程吧。

作者: 分形几何 时间: 2010-2-19 15:13

对，一元三次方程。

作者: 榕坚 时间: 2010-2-19 15:14

但所求的圆并不唯一啊，位置、大小。

作者: 榕坚 时间: 2010-2-19 15:16

化为同心圆的圆心是确定的，而化为等圆的圆心有很多。

作者: 分形几何 时间: 2010-2-19 15:30

61# 榕坚

问题6（两圆外离或相交时）.gsp (16.22 KB)

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作者: 分形几何 时间: 2010-2-19 15:40

72# 榕坚

化为同心圆的位置也有两个，并且半径可任意改变。

作者: 分形几何 时间: 2010-2-19 15:50

问题6与问题7是为了解决阿波罗尼圆和斯坦纳圆链问题而提出的作图问题，我们的目标是求出针对两圆的任一位置都能作出其反演圆的方法。不要拘泥于是代数方法还是几何方法。求反演圆的问题相当于复变里的求逆变换一样。与莫比乌斯变换相比，圆的反演的功能相当有局限性，但求逆映射有时候会遇到计算量非常大的困难。根据所要解决的问题适当选取可用的工具，灵活处理。

作者: 榕坚 时间: 2010-2-19 15:55

化为等圆的圆心在已知两圆的连心线上有两个，还有的不一定在已知两圆的连心线上。因此说有无数多个。73#中所求的是连心线上的其中一个圆，还有一个。

作者: 分形几何 时间: 2010-2-19 16:03

是的，针对我们所要解决的问题来说能找到每一种情况的解法，然后要解决的将是统一的方法。73#所解决的只是找到两圆相离或相交时的一种情况，一共有四种情况。这里的计算应分两类，每一类所构建的方程都有两根，这样一共可以分四种情况。有了这种解法，我想其它的解法，你一定能找到其反演圆的确定方法。思维没有什么新东西了，只是分类处理。然后考虑用符号函数构造一个统一的解法。

作者: 分形几何 时间: 2010-2-19 16:12

问题6的解可以这样确定：设两已知圆的半径分别为r1,r2,圆心距为d，则反演圆的半径是任意的，圆心由下面两式确定：d1=sqrt(r2^2+r0^2*r2/r),d2=sqrt(r1^2+r0^2*r1/r),其中d1、d2分别是反演圆与两已知圆的圆心距，r0是反演圆的半径，可以任意取，r是两已知圆被反演后的圆的半径，也可事先任取一值。因为r0与r的可以任意取，所以这个问题的解有无数解。

作者: 榕坚 时间: 2010-2-19 16:35

这下很热闹了，如果限制所求的圆的圆心在已知两圆的连心线上时，到目前为止我求出了最多有三个圆可以满足条件。还有其他的吗？

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作者: 分形几何 时间: 2010-2-19 16:38

你是说三个圆心还是三个圆呢？在圆上也是有无数个圆，只是圆心的位置是有限的。半径不定。

作者: 榕坚 时间: 2010-2-19 16:40

你是说三个圆心还是三个圆呢？在圆上也是有无数个圆，只是圆心的位置是有限的。半径不定。
分形几何发表于 2010-2-19 16:38

三个圆心，就是三个红色的圆，当然半径可以任意改变。

作者: 榕坚 时间: 2010-2-19 16:44

从这个范例也暴露了几何画板新增的求曲线交点功能的不足之处，不能如愿地求出所有的交点。inRm比它强。

作者: 分形几何 时间: 2010-2-19 16:47

你作图不是用几何画板作的？在画板中我遇到求交点的问题，如果计算量超出我的想象，我就改用数值计算去确定其交点的坐标，让电脑去替我做复杂的运算。

作者: 榕坚 时间: 2010-2-19 16:49

几何画板受求交点的限制，我在作同心圆问题时用过不大理想。从这点来看，涉及交点问题时还是inRm比较出色。

作者: 分形几何 时间: 2010-2-19 16:55

问题6，当圆心在连心线上时，从推理上说应该也有无数个点可作反演圆的圆心。当反演圆的圆心在连心线上时，就相当于78#中的d1+d2=d,或abs(d1-d2)=d,这时虽然增加了一个约束条件，但原来有两个活动变量，现在只不过是少了一个活动变量，但一个活动变量也是可以任意取值的，应该有无数个符合要求的点才对啊！不知是不是这种想法有漏洞？为什么会只有三个呢？

作者: 分形几何 时间: 2010-2-19 16:56

如果画板能作出两轨迹的交点有很多问题就相当容易了！我也为此感到。。。。。。，月有阴晴圆缺，此事古难全！

作者: 分形几何 时间: 2010-2-19 20:29

86# 分形几何

尽管此事古难全，但掩盖不了画板的功能，只不过要费点儿事。问题7完全解决了！几天来这个问题让我伤透了脑筋，终于有了结果！
说明，因为两圆的半径不能相等，所以这里的两圆的大小有个顺序，当两圆的大小颠倒时，你会看到错误，此时只需调整半径即可。

作者: 分形几何 时间: 2010-2-19 23:18

65# 榕坚

当两圆相交时，可以用一个反演圆将其反演成两条相交直线。

作者: 分形几何 时间: 2010-2-21 12:54

阿波罗尼圆的最终解决方案：

作者: 分形几何 时间: 2010-2-21 14:50

阿波罗尼圆的作法到此结束，但阿波罗尼圆的应用应该大有话题。可以用来做分形填充。

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-21 17:38

对，应八个解，彻底解决！

作者: 分形几何 时间: 2010-2-22 17:25

问题8 如图，已知定圆O，在圆O内构造斯坦纳圆链，现已作出第一层的圆，求作第二层，第三层等。

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作者: inRm 时间: 2010-2-23 14:07

请把模型文档贴上来。

作者: 榕坚 时间: 2010-2-23 17:38

也是一个半成品，还要再加一个参数的迭代：

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作者: 分形几何 时间: 2010-2-23 19:45

不错，离成功只差一步。如果能实现双迭代问题就解决了！我们的目标是实现完全迭代，也就是迭代的结果，整个圆平内被斯坦纳圆链尽可能地履盖，每一圈有n个圆，一共n层。模型文档如下：

问题8模型文档.gsp (3.82 KB)

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作者: 分形几何 时间: 2010-2-23 20:13

94# zd0076

可以参考完全图的作法看看能不能实现这种效果！

作者: 榕坚 时间: 2010-2-24 09:40

这个算全了吗？

附件: 斯坦纳圆链4.gsp (2010-2-24 09:40, 10.24 KB) / 下载次数 3010
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作者: 分形几何 时间: 2010-2-24 10:44

榕老师，这个算全了！但还有一点，如何实现整体迭代效果？

作者: jxsyxxl 时间: 2010-2-24 12:08

下载学习了。

作者: 榕坚 时间: 2010-2-24 12:15

这个算全了吗？
2822
榕坚发表于 2010-2-24 09:40

还是没全啊，迭代次数再增加就露原型了。

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