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标题: 【知识】数学之美：写给大家看的数字货币原理 [打印本页]
作者: inRm    时间: 2022-3-5 22:25     标题: 【知识】数学之美：写给大家看的数字货币原理

数学之美：写给大家看的数字货币原理
2020-04-20 18:55

来源 | 王剑的角度 国信证券经济研究所 金融业首席分析师
作者 | 王剑
本文共8640字，预计阅读时间：22分钟

认识信用货币

我们的故事从信用货币说起。

信用货币的本质是“债权”、“欠条”。这张欠条有一个发行人，这位发行人就是债务人，他签发了这张欠条。他欠着这张欠条的持有人一笔钱，持有人就是债权人。欠条上记着数字，代表着所欠的金额。持有欠条的人（此处称之为“买家”），拿这张欠条去买东西，支付给卖家，并从卖家那拿走商品。于是，这位卖家成为了新的债权人。也就是说，买家向卖家买东西，要支付对应的价值，而这笔价值是用债权来充当的。换言之，买家支付给卖家货币，本质是支付给卖家那笔债权。

卖家之所以接受这样的支付，是因为他也信任那位发行人。如果他不信任那位发行人，他就要求买家拿相近价值的东西来支付，比如其他商品。如果这种用来交换的商品是被普遍接受用来支付的，那么就被称为一般等价物。

因此，现代人们对货币的认识，并不是一般等价物演进成信用货币。而是，货币大部分时候都是信用货币，就是记账，大家签发各种欠条用来记账，有一个大家都信得过的记账系统。一般等价物只是在缺乏大家信得过的记账系统时的权宜之计，比如双方没有足够信任的跨部落（后来变成跨国）交易。

既然货币就是信用货币，就是欠条，那么就有一个用什么材料来记载这笔债权的问题。人类使用过金属（非足值的金属币是信用货币）、贝壳，而目前主流是印刷着数字的纸，就是纸币。现代纸币一般由政府统一发行，即由政府来充当那个中心的发行人，即债务人。当然，大部分国家由代表政府的中央银行来承担实际发行人角色。

以纸币为代表的现代信用货币有几个特点：

（1）匿名性：这些欠条是不记名的，上面不会写着持有人的名字，因为流通很快，要随手支付出去。纸币上面一般会有序列号，有某些情况下能追溯这张纸币的流转（比如ATM、交易柜台可记录序列号），但大多时候很难轻易实现，因此交易匿名。

（2）便捷性和低廉性：携带方便，生产成本较低（其实有些国家的纸币运用了复杂的防伪技术，成本并不低），纸币本身几乎没什么价值可言。金属币的信用货币有一点点价值，就是那点金属的价值，但远低于其票面金额。

（3）真实性：需要复杂的防伪技术，防止被随意复制，并且有技术要验证其真伪。

这就是以纸币为代表的现代信用货币。

银行存款货币

此外，我们常用的还有一种“货币”，就是银行存款，有时被称为银行货币。这种货币不是我们今天讨论的真正意义的货币，而是把一笔货币存在银行的凭证，据此凭证可以从银行提取真正意义的货币。比如，我国《人民币管理条例》规定： “本条例所称人民币，是指中国人民银行依法发行的货币，包括纸币和硬币。”没说包括存款货币。也就是说，人民币具有法定偿付功能（境内任何人不得拒收），其中主币（一元以上币种）具有无限法偿（指任何交易情况下不得拒收。但辅币没有无限法偿，只有有限法偿，有些情况下可以拒收，比如有人背着几麻袋的五毛钢镚来买一辆车，则可以拒绝。但买家背着几麻袋的1元钱来买一辆车，则卖家不能拒绝，只能老老实实蹲下来数钱），但银行存款不是人民币本身，也没有法偿功能，买家不想收时就可以拒绝（理由可能包括他没有银行账户，或者他觉得银行马上要倒闭了），而要求对方只能用纸币或硬币支付。因此，严格地讲，银行存款不是法定货币本身，而是能够问银行提供法定货币的凭证。我们后续的讨论仅限于法定货币本身。

顺便说一句，《人民币管理条例》可以修订了，人民币应包括纸币、硬币和数字货币。但数字货币只能具有有限法偿，因为卖家如果不具有数字钱包时，不能强迫他去准备一个数字钱包。


货币的数字化

随着现代信息技术发展，人类的很多资讯开始以信息化、数字化的形式存储、传送，方便快捷。于是，人们开始考虑这么一个事情：既然信用货币本质是债权、是欠条，因此它不像一般等价物那样是实物，而是一条信息，那么它能不能也用现代信息技术给予信息化、数字化呢？

其实，要用数字信号代表一笔欠条，似乎是很容易实现的，这就是“数字货币”，过去叫“电子货币”。但是，要让这笔数字货币真正履行货币的功能，那么它还要和纸币一样实现几个特点：

（1）匿名性：作为一个数字信号，数字货币在被付来付去的时候，是很容易留痕的。它不像纸币，买卖双方在线下直接交付，不留痕迹。因此，如何实现匿名性，成为了一个问题。

（2）真实性：作为一个数字信号，数字货币会不会很容易被Ctrl+C、Ctrl+V？要是无限复制，就出来了假币。而且，这个和假纸币还不一样，假纸币至少还能用验钞机查验，数字货币要是直接用复制、粘贴，那么被复制出来的那一份和原来的那一份是一模一样的，你都不能说它是“假的”。所以，数字货币要加载一套复杂的加密技术。

（3）便捷性：携带和交付比较方便。作为数字信号，传送肯定是很方便的，但是，由于加载了一套复杂的加密技术，有可能会导致交易过程略复杂。同时，数字信号不能像纸币一样拿在手上，只能存储在电子设备中，因此人们需要持有这种设备，我们将存储数字货币的电子设备叫做数字钱包。

（4）廉价性：货币是人们经济生活的基础设施，不能成本太高。数字货币不像纸币，每印刷一张都有成本，只要建好整个体系，新发行数字货币时边际成本几乎可忽略不计。但是，建整套系统（包括居民所需的数字钱包设备）可能需要较高成本。

（5）安全性：就是最好不容易被盗、丢失、毁损等。这个问题没有完美答案，只要是货币，不管是硬币、纸币还是数字货币，都不可能100%消除这一风险。我们只能说，数字货币只要比纸币更安全，那就是进步了。

后三个特点不难理解，我们不展开。

重点在前两个特点。前两个问题其实是相互对立的：要保证真实性，防止数字货币被复制出来后用于多次支付（称为“双付”问题，即复制了一份后，可以用于两次支付了），最简单粗暴的办法就是让数字货币惟一记名，由发行人一直盯着这笔数字货币的流转（这还需要联网，也影响了便捷性）。但这样就无法实现匿名性。因此，这似乎是不可调和的矛盾。

我们今天专门介绍下，一些数学天才是如何用精美的数学方法来解决前面两个问题（匿名性、真实性）以及去中心化问题。所以，实现数字货币的并不是新神器的发明创造，而只是数字方法的巧妙应用。



盲签与零知识证明

信用货币要求具有匿名性，不可追溯，但又得保证其真实性，不被非法复制，这是一对矛盾。

匿名性是指，数字货币的使用者在交易时支出了一笔数字货币，这笔数字货币在市面上流来流去，最终所有人都不能看到它经了谁的手。比如，某人从银行提取存款，得到数字货币，然后买东西时支付出去，卖家拿到数字货币，中间几经流转，最后一位持有数字货币的人把钱存回银行去。银行能够验证这笔数字货币的真伪，但却又不能知道这笔数字货币曾经流经过谁的手。

1、盲签与零知识证明

同时实现匿名性、真实性，所用到的技术就是盲签，而盲签的背后又是零知识证明。

先举一个虚拟的例子（参考螃蟹仔仔的学习笔记，有修改）：平遥票号日升昌，有位客户（A）存过来10两白银，要求开立一张汇票（不记名），然后他要拿着汇票去买东西，卖家（B）收到汇票后，会去日升昌取银两，但不想让日升昌知道这是A付给他的。假设票号的人非常眼尖，他看一眼汇票就能记住这字迹，从而下次看到汇票时就能想起来这是A让他签发的。因此，开票时不能让票号的人看见这张汇票。

不让日升昌看到汇票，却又要他们签出这张汇票，这怎么做到呢？A首先起草好汇票，上面写好金额（10两白银），然后放到一个信封里，信封有复写功能，因此票号看不到汇票的内容，就在信封外层签名。签名复制到汇票上，汇票就开好了。A回头从信封中取出汇票，支付给B，B再去日升昌取银两，那么日升昌此前并没有见过这张汇票，当然便不会知道这是A支付给B的。这就是盲签，我签名了，但我并不知道我签的是何内容，它便实现了匿名性。

但是，这里有一个明显的漏洞。日升昌没亲眼见过A起草的汇票，万一A填的是1000两白银，却谎称是10两呢？

所以，这里还要设计一道机制，来保证A填的确实是1 0两白银，这就需要依靠零知识证明。机制为：A起草100张汇票（假设他每次起草的字迹都是随机的。注意，这个假设很重要），每张上面全都写着“10两白银”，装入100个信封中。日升昌的人随机打开其中的99个信封，发现全部写的是10两，因此它就很放心地在剩下的那个信封上签名。因为，最后剩下的那个信封刚好是A偷偷写了1000两的概率实在太低了。如果日升昌还不放心，可以要求200个、1000个……

A向票号证明这张汇票上写的是10两白银，但又不能让票号见到这张汇票，这其实是一种零知识证明：即我不向你展示内容的情况下，却要证明内容的真实性。

当然，在现实的数字货币应用时，计算机系统里可没法使用可复写的信封，所以要引入加密机制。即，把100张汇票加密，加密后形成100个密文。票号拿到密文后，随机挑99个，让A解密给他看。解出来后，全是“XX存入10两白银”（XX是随便起的假名，以便让加密后的密文变得杂乱无章，类似前文中“随机字迹”的作用），那么票号就相信最后一个写的也是“XX存入10两白银”，但他不知道这假名是啥。当然，加密函数必须足够复杂，否则票号拿着99个明文和99个官方对照，说不定能倒推出加密函数，于是猜出来最后一个密文对应的假名是啥。

很显然，票号对应的是我们现代的银行，白银对应我们的信用货币，而汇票则是不记名存单。该方法实现了不记名存单的匿名性和真实性。

2、引入主权机关

这时，又出来一个新问题：A开出的汇票是以假名的，本质是不记名的，万一A拿这汇票去做了坏事，比如向B购买毒品，政府抓住了B，如果B守口如瓶（或者交易过程中B也不知道对方A的身份），就很难追溯到A了。这其实也是现行纸币面临的问题。于是，又对数字货币的匿名性提出了新的一种要求：对市场所有交易主体（包括银行）都是匿名的，但是在有必要时，主权机关却能做到追溯。

这是有限匿名机制。这其实是打击经济犯罪的有效手段，但又不破坏良民们合法交易的匿名性。

这时候，需要引入一个“可信第三方”，一般由主权机关安排，在我国未来实践中大概率由央行充当。简单地讲，可信第三方和银行都存储着流通中数字货币的序列号（跟纸币一样的序列号），但银行通过盲签，并不知道这笔序列号的数字货币在谁手中，哪怕客户来存取数字货币的时候都不知道。而一旦客户或银行发现违法犯罪行为，即可报警，警察叔叔便会同“可信第三方”一起沿着序列号追查坏人。

整个机制比我们前面的票号案例（没有主权机关介入）复杂一些，有兴趣的朋友可上期刊网查阅白永祥老师论文《基于盲签名的E-cash设计与实现》。文中还会用到不对称加密，本文后文有介绍。



去中心化与共识机制

上述的数字货币，本质是数字人民币。意即，它不是另外一种新的货币，它就是人民币本身，只不过原来用纸、金属制成的人民币，变成了用数字信号来制成人民币。因此，它完全没改变现行的货币体系，依然是现行的主权信用货币。

然而，西方有些顽固的人一直对政府没啥好感，老觉得政府要滥发货币害他们。因此，他们试图创造了不同于主权货币的新数字货币，即并不是数字化的主权信用货币，而是以比特币为代表的完全独立的新货币——当然，目前看它仍然不是严格意义的货币。

比特币以区块链为基础，实现了去中心化、去信任化。这也是通过一种精妙的数学方法实现的。

1、分布式网络

由于主权信用货币是由主权政府发行的，货币是欠条，主权政府是这欠条的统一中心债务人。去中心化就是不再有中心债务人，由完全平等的众多参与者共同维护整个体系。因此，引入分布式网络。将所有的参与者视为一个节点（P），那么整个体系所有节点构成一张庞大的P2P网络。所有的交易行为，全部一五一十地记录下来，并在每一个节点上存储完整备份，难以篡改。

那么，这非常类似于一个自治团队，就需要一些自治的规则，大家共同遵从。这便引出了共识机制。

共识机制来自经典的拜占庭将军问题，这是分布式系统天然面临的一个问题。拜占庭帝国幅员辽阔，将军们驻守各地（类似P2P网络中的一个个节点），需要相互通过信使传送信息，以便达成一些统一的军事行动。

比如某将军提出来大家一起攻击某敌军，派出信使通知其他将军，其他大部分将军响应，一致行动，则能取胜；如果响应的将军太少，则可能打不过敌军，最好不要行动。但将军中有叛徒，可能会故意发出错误信息（向不同将军发送进攻、不进攻的信号，让大家不一致），破坏统一军事行动（称为“不可靠节点”）。如果叛徒比例不高，大部分将军都统一行动了，那么不影响最后战果（即有一定的容错机制），但如果叛徒比例过高，就达不成统一行动，军事行动失败。

还有另外一种不可靠节点，不是叛徒，而是无能的将军……因此，不可靠节点指的是一切功能失效的节点。

还有个问题，由于中间需要信使，如果叛徒将军有能力篡改了路过他那边的其他将军的信使（称为“不可靠通信”），那么有可能使叛徒的破坏力加大。

因此，由于不可靠节点、不可靠通信的存在，所有将军都害怕收到的信息是假的，大家都不敢贸然行事，最后就无法达成统一行动，达成共识。这一问题的本质，是节点恶意行为的成本很低、然后通信不可靠，这些问题在共识机制中得到一定程度的解决。

2、不对称加密

首先，用不对称加密技术解决不可靠通信问题。

不对称加密技术，包含一对密钥对，即公钥和私钥，公钥是密钥对中公开的部分，私钥则是非公开的部分。用公钥加密数据就必须用私钥解密，而用私钥加密也必须用公钥解密。

而传统的对称加密，是指只有一个密钥。在对称加密下，收发信息的双方都要掌握同一个密钥，发信息的人加密，收信息的人解密。但在分布式系统中，所有人都是收发信息的一员，那么如果大家都掌握了同一密钥，那密钥就相当于公开了，那还有加密的意义吗？所以，对称加密对分布式系统无效。这里就需要不对称加密，用公开的收信人公钥加密，但收信人用仅自己知道的私钥解密。

不对称加密主要依赖于单向函数而实现。单向函数是指给定一个自变量，很容易算出因变量，但给定因变量，却很难倒算出自变量。也就是，这是一种很难处理成反函数的函数。

单向函数

已知x很容易算出y=f(x)，但已知y时，很难算出x=g(y)。

g(·)是f(·)的反函数。

利用这样的函数，很容易构建不对称加密。以经典的RSA加密算法原理为例。这一算法基于一个很容易理解的单向函数：两个巨大的质数相乘很容易，便想把这个乘积分解为两个质数却很难。

方法如下（参考Tiny熊，有修改）

RSA加密算法

假设A和B两人要相互通信。B是发信人，A是收信人。他俩是分布式系统中的两个普通节点，所以不能用对称加密。整个过程分以下几步：

（1）A随机取大质数P1=53，P2=59，那N=53*59=3127。但从3127中很难倒算是哪两个质数相乘。

（2）然后会用到欧拉函数。取N的欧拉函数φ(N)=3016。

欧拉函数φ(N)的输出结果是1与N之间（包括1，不包括N）有多少个正整数与N互质。很显然，一个质数的欧拉函数值就是自己减1，因为所有小于它的正整数都与它自己互质。欧拉函数有一个乘法性质，即φ(ab)= φ(a) φ(b)。所以：φ(N)= φ(53) φ(59)=52*58=3016 。

（3）取一个e=3（介于1和φ(N)间的一个质数，并且和φ(N)互质）。这个e等下要用在公钥里。

（4）求e关于模φ(N)的模反元素，设为d。这个d等下要用在私钥里。

模反元素的定义：如果ed-1能被φ(N)整除，那么就称d是e的关于φ(N)的模反元素；或者换个说法，ed除以φ(N)后，余数是1；再换个说法，ed和1对模φ(N)同余，即ed和1分别除以φ(N)，余数是相等的，都是1。记为：ed ≡1(mod φ(N)) 。于是，求得d=2011。

这时，A还可以销毁P1=53，P2=59。

（5）用公钥加密。A只将N=3127，e=3 作为公钥，对外公开。公钥一般写成(N,e)，即(3127,3)。

假设B需要将明文m=89发给A，就用A的公钥将明文加密，加密算法为：

c = m^e mod N=89^3 mod 3127=1394，即明文m的e次方，再除以N，求得余数，这个余数就是用A的公钥加密后的密文。于是B向A传送密文c=1394。

（6）用私钥解密。A收到c后，使用自己的私钥解密。

算法为：c^d mod N = 1394^2011 mod 3127，就能得到明文m=89。

依靠这种非对称加密技术，就能够实现在分布式系统中传送加密信息，不会被篡改、截获。比特币使用的是另一种不对称加密算法，即椭圆曲线签名算法（ECC）。

而且，非对称加密还可以让P2P网络中的其他任何人验证B是发信人。B只需将一段信息用私钥加密，公告出去，大家便能用B的公钥解密它，从而验证这个信息确实是B发出的。这样，A也不用担心收到的B的信息其实是其他人冒充B发出的。

3、拜占庭容错

解决了加密传送信息之后，再接着解决达成共识的机制问题，就是建立共识协议。

首先，做决策时，得有一个将军出来首先宣布他的进攻提议，然后大家表达自己同意或不同意，并且把所有人的观点送达所有人。这里就需要等待一个时间段，以便让大家把各种信息传送到位。然后大家看到所有人的信息后，比如大部人都说“同意进攻”，那么大部分忠诚的将军就按约定的时间一起进攻，取得胜利。

如果整个网络中，大部分将军是反叛的，那么他们有可能一开始就回答说“不同意进攻”，最后无法达成进攻的共识；或者他们一开始假装同意进攻，但到了约定进攻的时候却没进攻，导致其他忠诚的将军进攻失败。

可见，当分布式系统中大部分节点是忠诚的，只有少数是叛徒的时候，不影响大家达成共识。所以，这样的网络就会有一个容错机制，中间出现小比例的不可靠节点时，不影响整个网络的正常运转。

4、共识机制

然后，还得解决由谁来充当第一位出来提议的将军。这里会需要一些协议。以比特币为例，他们采用的是工作量证明协议PoW（Proof of Work），其设计是：

区块链是由分布式网络上的每一个分布式节点全都记录下所有交易，每一段时间的交易组成一个区块，整个区块链由多个区块首尾相连。每个区块包括区块头、区块体两部分，全部交易信息记录存在区块体中。所有交易记录完毕后，把里面所有交易的信息，生成哈希值，并把它作为区块头的“Merkle根”。区块头还包括版本、父区块哈希值（上一个区块的哈希值）、时间戳、难度值、nouce等其他信息，但整个区块头信息量不是特别大。如下图（引自ustcsse308）：



哈希值

哈希值是哈希函数运算的结果。

哈希函数的功能是，可以把任何输入信息转化成固定长度的一串输出值，这个输出值就是哈希值。比如比特币中用的是SHA256函数，能把任何输入信息输出为256位的哈希值。

哈希函数还有几个特点：（1）单向性，很容易算出哈希值，但从哈希值很难算出原输入值；（2）雪崩效应，输入值的一丁点变化，输出的哈希值就面目全非；（3）输出惟一性，两个输入值很难出来同一个哈希值。

哈希函数主要用于验证数据有没有被篡改。比如我们下载一个大文件，下载过程中容易出点小错。那么下载网站还会公布这文件的哈希值，我们下载完文件后，进行哈希运算，看看出来的哈希值是不是和网站公布的一致。若一致，就说明下载过程中没出错。

在区块头中，时间戳、目标值、nouce与“挖矿”有关。

先用确定目标值：最大目标值/难度值。其中，最大目标值是一个事先固定的常量，数值巨大。难度值则是一个会根据过去一段时间的挖矿情况来自动调整的量，它通过自动调整，以便让每出一个块的时间保持差不多，也就是保持整体挖矿难度基本不变。在过去一段时间内，如果挖矿能力变强，那么难度值就会自动提高，以便让目标值变小（这里目标值越小就越难达到目标，具体见后文）。

然后，矿工们（都是节点上的参与者）开始挖矿。算法是：用穷举法，不断地变换nouce值，然后把整个区块头的信用进行两次哈希运算，将得到的哈希值与目标值做对比，如果小于目标值，则矿工就完成了这次工作量（所以目标值越小就越难达到目标）。然后，第一位率先完成工作量的这位矿工就可以宣布大家记账……也就是那位首先提议的将军。别的参与者可以拿这位矿工找到的nouce值也进行哈希运算，看看其结果对不对，很容易验证。

由于每次完成工作量需要一定的时间，这也意味着，每次有人完成工作量后，就把这段时间内的交易汇总成一个区块，然后写入区块链中。

整个计算过程就是穷举法，技术含量不高，但成本不低，需要大量的计算力（计算力背后消耗的是电力等实实在在的人类资源）。但完成的矿工还可以得到比特币的奖励。因此，坏人参与进去撒谎、篡改数据意义不大，因为修改50%以上的节点数据的计算力远超挖矿，所以还不如老老实实挖矿来得实惠。这样，不可靠节点问题就得到了一定程度的遏制。因此，本质是用不菲的电力等资源，在由相互无信任的陌生人构成的分布式网络中，实现一定程度的可交易性。

因此，通过上述不对称加密、共识机制等方法，最终在一个人与人之间完全无信任的分布式记账系统中，实现了一些类似货币的功能。这便是数学的力量。

.End.
作者: 周传高    时间: 2022-4-24 14:03

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