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标题: IFS吸引子的扫描算法初探 [打印本页]

作者: xiaongxp 时间: 2012-12-20 13:52 标题: IFS吸引子的扫描算法初探

Christmas Tree.jpg

   圣诞节将至，预祝大家圣诞快乐
   圣诞树分形由3个压缩比为0.5的相互垂直的相似变换迭代而成，可以用多种方法作成L系统和IFS分形，但如何用扫描法完成，谁能帮帮我？
   下面文件提供了10种圣诞树分形的作法。

图片附件: Christmas Tree.jpg (2012-12-20 13:52, 22.76 KB) / 下载次数 4343
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19149&k=154cc3d9ae6d34aebf45ef6eb0308d8a&t=1714311836&sid=w6L2F2

附件: Christmas Tree.gsp (2012-12-20 13:52, 44.42 KB) / 下载次数 5757
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19150&k=920cc7d826eb272e9d67b6a539744b96&t=1714311836&sid=w6L2F2

作者: changxde 时间: 2012-12-20 21:27

扫描版圣诞树.gsp (13.42 KB)

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http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19151&k=cc0b89750c2ca4ade5bddb4e9f21cf8a&t=1714311836&sid=w6L2F2

作者: xiaongxp 时间: 2012-12-20 21:41

2# changxde
谢谢，这样三种形式的圣诞树分形就齐备了。

作者: 柳烟 时间: 2012-12-21 10:16

欣赏二位老师的作品，学习。

作者: xiaongxp 时间: 2012-12-22 11:57

学习常老师的方法，作成扫描版的五角繁星和Durer五角星

五角繁星与Durer五角星[扫描版].gsp (19.65 KB)

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http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19162&k=a13ce83d599a33b6e57744372d0a52a9&t=1714311836&sid=w6L2F2

作者: xiaongxp 时间: 2012-12-22 12:21

这种方法可以很好地解决不连通IFS吸引子和刚触及IFS吸引子的扫描作图。如果解决了像分形树、蕨叶这种重叠的升腾IFS吸引子的扫描作图，那么确定型IFS吸引子的画板扫描问题在原理上就可以彻底解决了。

作者: xiaongxp 时间: 2012-12-23 14:27

Sierpinski三角[扫描版].gsp (11.41 KB)

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http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19165&k=faf00245fd597deec56451655c1cc83e&t=1714311836&sid=w6L2F2

作者: xiaongxp 时间: 2012-12-23 14:59

Koch雪花与Koch反雪花[扫描版].gsp (31.63 KB)

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http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19168&k=7532ba71ef97ed7d3547f8d38a8b1d82&t=1714311836&sid=w6L2F2

作者: xuefeiyang 时间: 2012-12-23 20:06

这里有一个问题：为什么迭代次数次数超过10以后就扫描的图象就几乎看不到了呢？

作者: 榕坚 时间: 2012-12-23 20:24

还有一个不理解：

图片附件: 捕获.JPG (2012-12-23 20:24, 12.34 KB) / 下载次数 3945
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19170&k=becffab85dfb2a0b76cb49cef01ccb69&t=1714311836&sid=w6L2F2

作者: 榕坚 时间: 2012-12-23 20:27

9# xuefeiyang

我想是因为用区域着色，当n较大时着黑色区域的面积趋于0。

作者: xiaongxp 时间: 2012-12-23 20:30

9# xuefeiyang
胡兄好。
由于每个变换都是将多边形成几何级数地压缩，压缩到一定程度多边形面积几乎为0就看不见了。

作者: xiaongxp 时间: 2012-12-23 20:38

10# 榕坚
color=2与color=1等效。

作者: xuefeiyang 时间: 2012-12-23 20:41

10# 榕坚

哪个文件出现的？

作者: 榕坚 时间: 2012-12-23 20:42

13# xiaongxp

出现了这个现象：

图片附件: 捕获.JPG (2012-12-23 20:42, 67.18 KB) / 下载次数 1924
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19171&k=3345507d7fbb7b0217d5201c37c3be35&t=1714311836&sid=w6L2F2

作者: xuefeiyang 时间: 2012-12-23 20:42

12# xiaongxp

如果用距离作着色参数就可以避免出现这种现象了吧？

作者: 榕坚 时间: 2012-12-23 20:43

14# xuefeiyang

五角繁星。当n=5时。

作者: 榕坚 时间: 2012-12-23 20:46

13# xiaongxp

color=2的效果是黑色。

作者: xiaongxp 时间: 2012-12-23 20:49

15# 榕坚
color少加了一个sgn，应为sgn(1-sgn(et-n))

作者: xuefeiyang 时间: 2012-12-23 20:55

这个专题可以说是在研究几何变换在分形中的应用了！

作者: xiaongxp 时间: 2012-12-23 20:57

如果用画板解决了重叠IFS吸引子的扫描，分形树、圆的极限集的扫描就可以实现了。
分形树怎么扫描？这是问题文件：

扫描树.gsp (127.17 KB)

附件: 扫描树.gsp (2012-12-23 21:57, 127.17 KB) / 下载次数 3864
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19172&k=d7c223566c610a0ec3f38d0b66bf600d&t=1714311836&sid=w6L2F2

作者: xiaongxp 时间: 2012-12-24 14:19

圆的极限集原来也可以这样扫
四圆极限集[扫描版].jpg

四圆极限集[扫描版].gsp (10.03 KB)

五圆极限集[扫描版].gsp (22.93 KB)

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http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19184&k=a0da3112c397c2e05ad55828044aae48&t=1714311836&sid=w6L2F2

图片附件: 五圆极限集[扫描版].jpg (2012-12-24 15:13, 13.78 KB) / 下载次数 2532
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19185&k=200369dd7bf890338ec3ccc7a4fdc13d&t=1714311836&sid=w6L2F2

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http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19186&k=b38d0975b7e04cbefc4ca5e35a3cdc5a&t=1714311836&sid=w6L2F2

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http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19187&k=f111cb427ca28d7bddcc3b0f7846c03e&t=1714311836&sid=w6L2F2

图片附件: 五圆极限集2[扫描版].jpg (2012-12-24 22:54, 9.5 KB) / 下载次数 2518
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19190&k=eb0539d2af8fb82508e9f351fbda7d49&t=1714311836&sid=w6L2F2

作者: yandongtai 时间: 2012-12-24 14:47

做得太好了。学习!这是一份圣诞大餐

作者: 榕坚 时间: 2012-12-24 16:18

22# xiaongxp

就是这种效果了：

图片附件: chains-3.JPG (2012-12-24 16:18, 37.58 KB) / 下载次数 2418
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19188&k=a497d8ef79c5534e52c51623e97856ce&t=1714311836&sid=w6L2F2

作者: xiaongxp 时间: 2012-12-24 16:57

榕老师的迭代次数是多少，是用迭代终点模着色的吗?

作者: 榕坚 时间: 2012-12-24 17:00

25# xiaongxp

用et+迭代终点着色，迭代次数60，当做可以无限放大，只要耐心等待n可以任意大。

作者: xiaongxp 时间: 2012-12-24 17:13

有了扫描法,我们就可以象某分形网上那样把极限圆作成球冠了。

作者: 柳烟 时间: 2012-12-24 19:28

22# xiaongxp
这扫描极限集挺吸引眼球的，将就向老师文件，加个扫描框扫图一幅，迭代次数好象一二千都可以：

我看了源文件，不大懂，向老师能否具体讲讲作法过程。先感谢了。

图片附件: 未命名.jpg (2013-1-4 18:33, 33.61 KB) / 下载次数 2697
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19189&k=4323b8a839efcc2903a2fcc30f22f54d&t=1714311836&sid=w6L2F2

作者: xiaongxp 时间: 2012-12-24 21:55

28# 柳烟
扫描版四圆极限集的作法：
1.作三等圆两两相切并求其内部真值int[1]、int[2]、int[3]，再作三等圆的外公切圆及其内部真值int[0]；
2.分别以四圆为反演基作点z的反演点ITransf[1]、ITransf[2]、ITransf[3]、ITransf[0]；
3.以点z为中心、int[0]为缩放比，作点ITransf[0]的缩放点ITransf[0]’；再以点ITransf[0]’为中心、int[1]为缩放比，作点ITransf[1]的缩放点ITransf[1]’；……最后以点ITransf[2]’为中心、int[3]为缩放比，作点ITransf[3]的缩放点z'(即ITransf[3]’）；
4.最后作t→T=t+sgn(int[1]+int[2]+int[3]+int[0])、z→z'的深度迭代

作者: xiaongxp 时间: 2012-12-24 22:27

第3步也可以是：度量ITransf[1]、ITransf[2]、ITransf[3]、ITransf[0]的坐标x[1]、y[1]、x[2]、y[2]、x[3]、y[3]、x[0]、y[0]，以int[1]*x[1]+int[2]*x[2]+int[3]*x[3]+int[0]*x[0]+x[z]为z'的横坐标，同法作z'的纵坐标

作者: xiaongxp 时间: 2012-12-28 12:36

Apollony分形集[扫描版].jpg

Apollony分形集

Apollony分形集[扫描版].gsp (10.23 KB)
这个Apollony分形集是由四圆极限集中心放大而成，如何独立制作？

图片附件: Apollony分形集[扫描版].jpg (2012-12-28 12:36, 13.76 KB) / 下载次数 1838
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19221&k=827a0a493b6cbd0ea0cd3693ff1f0020&t=1714311836&sid=w6L2F2

附件: Apollony分形集[扫描版].gsp (2012-12-28 20:15, 10.23 KB) / 下载次数 3629
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19233&k=5e8608d455c708a9717d110612011c20&t=1714311836&sid=w6L2F2

作者: 榕坚 时间: 2012-12-28 15:24

这种类别的也应该变得不难了：

图片附件: 2.JPG (2012-12-28 15:24, 50.43 KB) / 下载次数 1875
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19227&k=423abffe60313140fa14b6753cdc6fa3&t=1714311836&sid=w6L2F2

作者: 榕坚 时间: 2012-12-28 15:42

还有这个，看了眼馋:

图片附件: 7.jpg (2012-12-28 15:42, 125.25 KB) / 下载次数 1889
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19228&k=ae55b244f5c8c07fdd18975422717f99&t=1714311836&sid=w6L2F2

作者: xiaongxp 时间: 2012-12-28 19:55

32# 榕坚
六切圆链反演.jpg

六切圆链反演三切圆反演

六切圆链反演.gsp (12.04 KB)

三切圆反演.gsp (11.71 KB)

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http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19234&k=9c93ca5e5376cc70d7548d9612d11ba1&t=1714311836&sid=w6L2F2

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http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19235&k=5a18f054f995c11e33b619d07974832b&t=1714311836&sid=w6L2F2

作者: xiaongxp 时间: 2012-12-28 22:57

九圆极限集

九圆极限集[扫描版].gsp (15.74 KB)

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http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19236&k=415f1f6371369a06a67475aff0cc0f47&t=1714311836&sid=w6L2F2

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http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19237&k=a9231229fe396c0a2b675b1ea43f3f2f&t=1714311836&sid=w6L2F2

作者: xiaongxp 时间: 2012-12-29 13:36

31# xiaongxp
今天终于想透想通，作出了独立的Apollony分形集

Apollony分形集[扫描版].gsp (8.7 KB)

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http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19241&k=cf6842d0bf351245de9bac61f7ad20d2&t=1714311836&sid=w6L2F2

作者: 榕坚 时间: 2012-12-29 16:55

36# xiaongxp

好象效果与#31楼没什么两样啊，它还是截了一块扫描。

作者: xiaongxp 时间: 2012-12-29 17:26

37# 榕坚
这倒是在无意中得到了四圆极限集的两种不同作法。榕老师眼力了得！

作者: 榕坚 时间: 2012-12-29 21:10

38# xiaongxp

既然做扫描版的就要能放大缩小，因此，原始圆的大小要稍加修改（与坐标系关联）。这样就可以局部放大。

作者: xiaongxp 时间: 2012-12-30 10:08

39# 榕坚
运用我那工具包中相似变换工具3、4、6，无需关联坐标系，可分别满足3种不同放大要求，下面文件是这三个工具的功能演示文件。

Apollony分形集局部放大[扫描版].gsp (16.91 KB)

附件: Apollony分形集局部放大[扫描版].gsp (2012-12-30 10:26, 16.91 KB) / 下载次数 3519
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19248&k=18313a0b6f48cf88d4429701b01456e6&t=1714311836&sid=w6L2F2

作者: xiaongxp 时间: 2012-12-30 11:01

分形树的扫描似乎难以解决，就连最简单的二分树都没能扫描出来。

作者: xiaongxp 时间: 2012-12-31 00:20

IFS的扫描没有新的进展，只能在着色上弄弄。
六圆极限集的分块着色

六圆极限集的分块着色.gsp (13.98 KB)

图片附件: 六圆极限集的分块着色.jpg (2013-1-4 18:30, 19.36 KB) / 下载次数 1881
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http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19253&k=7d9ffb74f353bf31d102ea2b88df41fe&t=1714311836&sid=w6L2F2

作者: xiaongxp 时间: 2012-12-31 16:10

IFS吸引子的扫描中，这种方法只对不重叠向内压缩的迭代函数系统有效，特别适合外切圆系的极限集的扫描。
太极八卦图

九圆极限集[太极八卦图].gsp (19.44 KB)

图片附件: 太极八卦图.jpg (2013-1-4 18:30, 26.39 KB) / 下载次数 1868
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附件: 九圆极限集[太极八卦图].gsp (2012-12-31 16:10, 19.44 KB) / 下载次数 3006
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19259&k=a8f9f45d430c16bee1734f3f309630fd&t=1714311836&sid=w6L2F2

作者: 榕坚 时间: 2012-12-31 17:02

这是UF的Apollonian加M集，如何扫出这种带立体感的效果呢？柳老师是简化代码专家，能否把那些除Apollonian以外的效果都去掉，作出几何画板的效果图来。期待着……

图片附件: Fractal1.jpg (2012-12-31 17:02, 33.53 KB) / 下载次数 2177
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19261&k=bff719ae61453f7d384b19f62ca32289&t=1714311836&sid=w6L2F2

作者: 柳烟 时间: 2012-12-31 21:31

这是UF的Apollonian加M集，如何扫出这种带立体感的效果呢？柳老师是简化代码专家，能否把那些除Apollonian以外的效果都去掉，作出几何画板的效果图来。期待着……
榕坚发表于 2012-12-31 17:02

代码长得让人吐舌，我估计代码精简后，可能还是很长。从代码来看，好象没涉及立体，可能是用的伪3D，我可以试试，可能要花点时间，我也对画板弄阿波罗圆有兴致。为使代码尽量简单，计划我将面板上的打钩的地方全去掉，将众多开关项去掉，不考虑，都给其精简掉。其实只要能按作色文件的代码弄，然后直接在扫描框中，对任一动点作色扫出就成。

图片附件: Fractal2.jpg (2012-12-31 21:34, 80.66 KB) / 下载次数 2345
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19264&k=5f38b556191af418883246dbad13bf84&t=1714311836&sid=w6L2F2

作者: 柳烟 时间: 2012-12-31 22:38

难度太大了，刚才看了代码，又看了面板，面板上的参数与代码里的对应，找了半天，一个也没找着，不知从何下手，已经打算放弃了，实在没办法。

作者: xiaongxp 时间: 2013-1-1 00:49

用扫描法作仿球面极限集还有很长的路要走。先直接用圆迭代作仿球面四圆极限集。—定要将n逐一增加至4或5，要有耐心哟。千万别设n≥6，否则可能gsp和你一样要崩溃的！下图n=5

仿球面四圆极限集.gsp (17.76 KB)

图片附件: 仿球面迭代四圆极限集.jpg (2013-1-4 18:31, 18.05 KB) / 下载次数 1898
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19267&k=5ead393a5cfe7dd1e69697525d41f7b7&t=1714311836&sid=w6L2F2

附件: 仿球面四圆极限集.gsp (2013-1-1 15:47, 17.76 KB) / 下载次数 3090
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=19268&k=b5b40fa8deccc0e826f73daff85b565a&t=1714311836&sid=w6L2F2

作者: xiaongxp 时间: 2013-1-1 13:10

按迭代原理,44#的大球面不是扫描得到的,可能和我47#的原理—致,而45#的有可能是扫描图。事实上扫描图的极限圆处,按圆迭代正好是真实圆。

作者: 柳烟 时间: 2013-1-1 14:39

以前此坛造圆的极限集，感觉到重复圆太多了，导致文件生成图形缓慢，这些多出的圆能否剔除呢？UF中的那些球，不可能有那么多重复的，我猜。

作者: xiaongxp 时间: 2013-1-1 15:44

49# 柳烟
用圆作迭代，不管用什么软件，大量重复是不可避免的，这是由四圆极限集的迭代算法所决定的。

作者: 柳烟 时间: 2013-1-1 15:56

不知圆的极限集，除了目前的算法外，还有没有其它算法，这方面的资料，国内太少了，外国的网上倒收搜到一些，可惜洋文，懂不起。

作者: xiaongxp 时间: 2013-1-1 20:25

扫描版迷宫图

maze.gsp (12.65 KB)

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作者: xiaongxp 时间: 2013-1-2 00:24

作个变换封住口

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作者: xiaongxp 时间: 2013-1-2 12:22

分形万花筒_方巾

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作者: xiaongxp 时间: 2013-1-3 15:05

研究了20多个小时，加了两个相似变换，终于整出扫描版直角分形

直角分形[扫描版&IFS版].gsp (52.62 KB)

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作者: xiaongxp 时间: 2013-1-3 23:42

过去作L-系统的勾股分形由于迭代次数不敢上去，要作出漩涡中心简直不可想象，现有了扫描技术就轻松了。

勾股分形[扫描版&L-sys版].gsp (29.96 KB)

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作者: 榕坚 时间: 2013-1-4 08:27

记得J集也可以由IFS生成，若按此法将IFS改扫描，那么J集由IFS做法变扫描法是否可行（当然不是常规的复分形）？主要是想知道这些扫描版IFS（应该是类似于对Z着色的J集）是否也可以引入一个变量C，构造出对C着色的分形来，即通常说的M集。

作者: xiaongxp 时间: 2013-1-4 14:23

迭代函数系统若是仿射变换系，利用其平行不变性让平行四边形参与迭代，那层层叠加的平行四边形的极限图构成线性分形图；迭代函数系统若是反演变换系，可用其保圆性让圆参与迭代，层叠的圆的极限图便是圆的极限集。J\M集属于非线性分形，其IFS为{R^2；(z-c)^.5，i*(z-c)^.5}，用什么图形参与迭代又如何迭代呢？这又需要智者开启我们的智慧。

作者: 柳烟 时间: 2013-1-6 21:08

请教向老师一个问题：#7中的谢尔三角形，从作法来看，int1到int3是判断复平面上的点Z是否落于三个有色块的三角形内，从你文件来看，后面的作法的数学道理是什么？我想整合UF与你的思路，尝试搞一个用代数方法的扫描版的。

作者: xiaongxp 时间: 2013-1-6 22:07

59# 柳烟
算理：三个相似变换分别将三色块三角形变换成外围大三角形，是作L系统或IFS的谢氏三角所用变换的逆变换。
内部真值int与变换点Transf的整合使用方法见29#。

作者: xiaongxp 时间: 2013-1-6 22:11

用仿射变换将三个不同的分形贴入同一个图中一次扫描

分形方盒[扫描版].gsp (46.27 KB)

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作者: xiaongxp 时间: 2013-1-8 14:11

从浮雕图更能反映出为什么叫极限集

浮雕五圆极限集[扫描版].gsp (12.79 KB)

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作者: 榕坚 时间: 2013-1-8 14:31

62# xiaongxp

如果把等势线弄掉再把图形水平放置就是以前在某个网上看到的极限圆效果了。

作者: xiaongxp 时间: 2013-1-10 13:47

这个拟3D效果不佳，如果这种R^2平面分形也能整出象复分形那样的边界扫描技术，拟3D效果就容易出来了。

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作者: xiaongxp 时间: 2013-1-14 20:40

两个相似变换作Koch曲线

Koch曲线.gsp (17.55 KB)

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作者: xiaongxp 时间: 2013-1-14 21:03

Arboresent肺[扫描版].gsp (12.29 KB)

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作者: xiaongxp 时间: 2013-1-15 23:17

顶部抹平后拟3D效果更好些，着色参数的设置也会影响3D效果。

拟3D五圆极限集[扫描版].gsp (15.41 KB)

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作者: inRm 时间: 2013-1-15 23:33

62# xiaongxp

精彩！

作者: xiaongxp 时间: 2013-1-19 19:10

分形叠加.gsp (28.95 KB)

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作者: xiaongxp 时间: 2013-1-19 21:15

分形叠加2.gsp (29.94 KB)

分形叠加3.jpg

分形叠加3.gsp (29.64 KB)

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作者: xiaongxp 时间: 2013-1-20 13:31

多了“内涵”却少了“棱角”

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作者: xiaongxp 时间: 2013-1-21 00:15

终于棱角分明了

分形叠加4.gsp (20.47 KB)

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作者: xiaongxp 时间: 2013-1-21 21:43

囚

M集&五圆极限集[扫描版].gsp (20.66 KB)

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作者: xiaongxp 时间: 2013-1-24 12:03

如果把69#~72#的分形叠加称作串行叠加的话，那么上楼和本楼的就应叫并行叠加了

分形的并行叠加2.gsp (27.04 KB)

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作者: xiaongxp 时间: 2013-1-27 11:07

IFS分形的几何画板扫描化还能走多远？用“图形+判断”的逆迭代法扫描似乎已经走到头了。用代数法构建双曲压缩变换的逆变换能否解决重叠IFS分形扫描？

作者: xiaongxp 时间: 2013-1-27 17:07

背负乾坤

分形的并行叠加3.gsp (22.69 KB)

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作者: xiaongxp 时间: 2013-2-6 18:46

Ball.gsp (24.87 KB)

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作者: zhongba 时间: 2013-2-15 13:54

多了“内涵”却少了“棱角”
19374
xiaongxp 发表于 2013-1-20 13:31

今天重读源文件，发现缺少芒刺和枝杈的原因是角的单位设为了＂度＂，改为＂弧度＂就正常了。经验表明，用三角函数来定义三色素，角的单位用＂弧度＂更便于颜色的调配，更易使分形图的细部达到精致表现。

作者: zhongba 时间: 2013-5-1 21:36

数学之美[扫描版].gsp (8.46 KB)

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作者: 榕坚 时间: 2013-5-2 21:04

79# zhongba

高考快到了，帮学生复习的紧张阶段，没时间啊。不然的话，有了这个扫描版可能就可以解决：
http://www.inrm3d.cn/viewthread.php?tid=2842&page=24#pid33034

作者: xiaongxp 时间: 2013-6-12 16:26

好像还没过多久不做扫描版的L-system，差点就忘了作法

连续单曲线谢宾斯基三角【扫描版】.gsp (10.88 KB)

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作者: xiaongxp 时间: 2013-6-12 16:35

还有两个L分形，分级显示效果

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作者: xiaongxp 时间: 2014-1-22 23:39

等势线法应用于IFS扫描实现，效果不错
扫描版数学之美1[五边形迭代].jpg

扫描版数学之美[五边形迭代].gsp (13.49 KB)
扫描版数学之美[六边形迭代].jpg

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作者: xiaongxp 时间: 2014-1-25 21:23

数学之美运用于五星迭代

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作者: changxde 时间: 2014-1-25 22:17

这几个效果太好了

作者: xiaongxp 时间: 2014-2-12 17:13

只要机器受得了，就可以一级一级叠加下去

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作者: xiaongxp 时间: 2014-3-22 22:39

最简单的庞加莱盘[3,7]如何扫描实现？我仿圆的极限集来作没能成功。庞加莱盘中的非欧多边形的反演远比圆的极限集中的圆的反演复杂得多。

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