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标题: 球面镜反射变换下看分形的结构 [打印本页]

作者: xiaongxp 时间: 2012-7-27 01:30 标题: 球面镜反射变换下看分形的结构

Weierstrass函数的分形结构

附件: [任何局部的放大都具有与整体的某种相似性] Weierstrass函数的分形结构.gsp (2012-7-28 15:51, 18.35 KB) / 下载次数 2220
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作者: myzam 时间: 2012-7-27 02:32

1# xiaongxp

放大镜的效果不错。顶一个。

作者: xiaongxp 时间: 2012-7-27 13:00

文：
   在数学中, 魏尔斯特拉斯函数(Weierstrass function)是一类处处连续而处处不可导的实值函数。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。
   在魏尔斯特拉斯之前，数学家们对函数的连续性认识并不深刻。许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率。Weierstrass函数的出现说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时数学家对连续函数的看法，从而在数学史上给数学基础带来了一次重大危机，而这一危机的最终解决，又给数学带来了一次飞跃式的发展和进步。
   Weierstrass函数具有分形性质：任何局部的放大都具有与整体的某种相似性
   Weierstrass函数可能被描述为最早的分形，尽管分形这个数学名词直到很晚之后才被使用。这个函数在每一个尺度上，都具有细节。因此放大每一个弯曲，都不能显示出图象越来越趋近于直线。不管多么接近的两点，函数都不是单调的。在肯尼斯.法尔科内的《分形集合的几何学》一书中，给经典的维尔斯特拉斯函数的毫斯道夫维数估计了上下限，该结果一般被认为是正确的、有价值的，但它并没有被严格证明。

   1#的gsp源文件力求对上述文字作出更为直观的可视化诠释

作者: xiaongxp 时间: 2012-7-31 21:30

这篇博文值得一读：       从处处连续处处不可微的函数到分形
   今天我要给大家介绍一个特殊的函数：Weierstrass函数。这个函数也叫做“Weierstrass椭圆函数”。它是一个很特殊的实函数，在实数轴上处处连续但处处不可微。
                                 图1.png

其中0<a<1,b>0且b是一个奇数,并且图2.png

这个函数处处连续是很容易证明的。上式右边的函数项级数的每一项的绝对值都小于等于an,根据Weierstrass的优级数判别法(M-test)可得它一致收敛于f(x)。又由于每一项都连续，可知其极限函数f(x)连续。证明它处处不可微是很难的一件事情，起码我现在还证不出来。
   可以说，Weierstrass对这个病态函数的发现在数学史上占有很重要的地位。它的出现改变了人们对于可微性和连续性传统的看法，即每一个连续函数除有限点外都是可微的(或更严格的说，在那之前，包括高斯在内的当时的一些伟大的数学家，都认为连续函数的不可导点至多是可列集)。
   之所以出现这种现象，是因为在当时函数的表示手段有限。随着级数理论的发展，函数表示的手段扩展了，数学家可以通过函数项级数来表示更广泛的函数类。Weierstrass作为一位研究级数理论的大师于1872年发现这个函数。可以说，Weierstrass的这个函数是分形这门数学分支产生的起点，尽管在这之后很久“分形”的概念才被提出来。
   所谓“分形”，就是指几何上的一种“形”，它的局部与整体按某种方式具有相似性。“形”的这种性质又称为“自相似性”。下面是Weierstrass函数的图像，从中可以看出这个性质：

正是这处处连续处处不可微的函数引起了伟大的数学家康托的兴趣，它将这种情况用新的理论体系进行了研究，即康托集，为分形学打下了基础。20世纪70年代，曼得布罗特将分形学提高到另一个高度，他的论文“英国海岸线有多长”在science上发表，引起了学术界的轰动。他的基本意思是用不同的尺子量处处连续处处不可微的曲线会有不同的长度。这是显而易见的，用一米的尺子和一公里的尺子量英国的海岸线结果肯定不一样，用大尺子量出来的结果肯定比小尺子量出的结果小得多，因为大尺子量不到小尺子能量到的弯曲（处处不光滑）。但是关键是寻找出用不同尺子测量某一“处处连续处处不可微”线段（如英国海岸线,云彩的边界,山峰的轮廓,曲折的河流,无规则裂缝…）得到的不同长度与相应的尺子之间的不变量！曼得布罗特成功了，这个不变量就是分维数！通常我们认为直线是一维的，平面是二维的，但是谁也没有想过曲线是几维的，分形理论告诉我们，这个维数是分数。这从根本上动摇了牛顿-莱布尼茨的微积分理论，他们认为导数、积分只是在整数范围内的，即一次、二次导数，积分、二重积分、三重积分，而分形理论中可以出现3.14次导数,2.718重积分。牛顿-莱布尼茨的微积分只是曼得布罗特分形理论的特例！就像牛顿的经典力学只是爱因斯坦的相对论在特定条件下的特例！所以，在80年代90年代，随之而起的分形与混沌理论主导了学术界，各个学科都将分形与混沌理论与自己嫁接。在通信（小波变换），信息安全（信息保密技术）、非线性力学等领域有了快速发展。混沌理论是分形理论的进一步深化，混沌理论的基本思想是“自相似”，特定的条件得到非特定的结果，这与经典力学的概念是相抵触的，经典力学是可知学科，即给定初始条件，便能得到确定的结果，如导弹飞行，卫星环绕地球。但是有些现象是经典力学不能解释的，如大气运动，尤其是天气的变化，谁也不能准确预测一个地区一个星期以后准确的温度、风向、乃至雷雨天晴，这些是不确定的，是初始条件敏感的，即自变量的一个微小变化将引起因变量不可想像的巨大变化。
分形作为一门新生学科，对音乐、美术也产生了一定的影响。它所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索，使人们觉悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美上的统一，使昨日枯燥的数学不再仅仅是抽象的哲理，而是具体的感受；不再仅仅是揭示一类存在，而是一种艺术创作。可以说，分形搭起了科学与艺术的桥梁。
来源:jianlizhao的博客

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作者: xiaongxp 时间: 2012-8-7 16:35

连续单曲线型Sierpinski三角的球面成像

球面镜反射变换下的L-连续单曲线型Sierpinski三角.gsp (10.59 KB)

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作者: xiaongxp 时间: 2012-8-9 16:35

IFS圆极限集的球面成像

球面镜反射变换下的IFS圆极限集.gsp (8.68 KB)

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作者: xiaongxp 时间: 2012-8-12 21:05

右图是左图在球面镜反射变换下的象

源文件：

常规尺寸经典M集.gsp (51.46 KB)

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作者: xiaongxp 时间: 2012-8-12 23:08

本帖通过源文件展示了球面镜反射变换下的函数图象、L-系统、函数迭代系统、扫描复分形的制作方法。
新图片.GIF

球面镜反射变换的作用：将赤道圆面上的点投射到下半球幕上，并重新正投射回赤道圆面上(即趴在赤道圆面内看下半球幕)，产生放大镜效果或球面视角效果。它不同于球极投影变换。
这里“反射”不是物理意义的反射，叫半球贴膜变换（我的分形工具包中曾用名）或球幕变换更为贴切一些。一次查阅某篇分形论文时，偶然发现了这个变换，它称之为“球面镜反射变换”，于是就人云亦云了。

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作者: xiaongxp 时间: 2012-8-22 00:34

这不是分形，只为演绎如何用球面镜反射变换看轨迹线

球面镜反射变换下的Lissajou曲线.gsp (5.54 KB)

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作者: xuefeiyang 时间: 2012-8-23 21:34

9# xiaongxp

向兄，球面变换的逆变换表达式是什么？

作者: xiaongxp 时间: 2012-8-23 22:29

10# xuefeiyang
胡兄说的是球极投影吗？这我已作成工具并收入“画板分形常用工具包_【变换工具】”中了，但我从未用过，还请胡兄测试一下。
此工具作用：将前半球面映成半平面

作者: xuefeiyang 时间: 2012-8-23 22:41

11# xiaongxp

我说的是将你所说的球面镜变换中的z到z'的变换改写成z'到z的变换表达式是什么？也就是1+（r-d）/(r+d)*sgn(1-sgn(d-r))作为缩放比得到z'，反过来由z'求z的缩放比的表达式是什么？

作者: xiaongxp 时间: 2012-8-23 23:56

12# xuefeiyang

球面镜反射逆变换.gsp (5.68 KB)

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作者: xiaongxp 时间: 2012-8-24 02:41

11# xiaongxp
我说的是将你所说的球面镜变换中的z到z'的变换改写成z'到z的变换表达式是什么？也就是1+（r-d）/(r+d)*sgn(1-sgn(d-r))作为缩放比得到z'，反过来由z'求z的缩放比的表达式是什么？
xuefeiyang 发表于 2012-8-23 22:41

突然觉得胡兄是要用这个工具来研究双曲几何中的分形吧？藉此我似乎看到了一丝成功的希望……。太晚了，睡一觉后我来试试看。

接着干了一上午，硬是没成功，罢了罢了……

作者: xuefeiyang 时间: 2012-8-24 11:38

14# xiaongxp

不是用来研究双曲平面内的分形。是想把一些数学变换整理一下。我看了看。这是一种简化了的球面变换。如果把判断部分去掉，可以把平面内的任一点映射到球面上。而其逆映射也就是变换，如果直接作用一张图片上则产生的效果比较怪异。

作者: xiaongxp 时间: 2012-8-24 14:02

15# xuefeiyang
原变换是欧氏几何到黎曼（椭圆）几何的变换，逆变换是欧氏几何到罗巴切夫斯基（双曲）几何的变换
欧氏几何与非欧几何.jpg

欧氏几何与非欧几何.gsp (8.39 KB)

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作者: xuefeiyang 时间: 2012-8-24 17:37

原来没有意识到这二者之间的关系，经向兄这么一说，验证了一下，还真是的。反演点的作法还真多。知识之间的联系与变化太丰富了！

作者: xiaongxp 时间: 2012-8-25 00:57

17# xuefeiyang
开始我也没有意识到这些，作出了上面那个M集也觉得怪怪的，都不敢贴出来。15#的最后一句话提醒了我，让我联想到了非欧变换。所以呀“三个臭皮匠顶个诸葛亮”，思维要在碰撞中才能迸出火花，和胡兄讨论问题总有所获，更是一种享受。

作者: xuefeiyang 时间: 2012-8-25 16:28

向兄看看这个问题文件如何修改（平行四边形的内切圆）：

问题文件.gsp (5.7 KB)

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作者: xiaongxp 时间: 2012-8-25 19:13

19# xuefeiyang
改了部分，还是有问题。为什么不用正方形内切圆作仿射变换？纯几何法两小时前有网友分享了源文件。

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附件: 圆仿射变换为椭圆.gsp (2012-8-25 21:32, 4.17 KB) / 下载次数 1748
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作者: zjhlw 时间: 2014-5-13 23:29

好东东，可惜不会做！

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