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标题: trunc(x) 的基本性质 [打印本页]

作者: myzam 时间: 2012-7-12 11:05 标题: trunc(x) 的基本性质

一．trunc(x)与x-trunc(x)的性质
trunc（x）叫截尾函数，其含义是把x的小数部分去掉，整数部分为其值。很显然
x-trunc(x)就是x的小数部分。因此利用截尾函数我们总是可以把数x分解为写成整数
部分加小数部分的形式：x=trunc(x)+[x-trunc(x)].由此可以看到trunc(x)和x-trunc(x)是我
们首页要认识的一对函数。利用几何画板我们可以容易的画出它们的图像：

由图1可以看到trunc函数是阶梯函数，跳跃度是1.每一小线段都是左实右空的线段。也就是说当x属于区间[n,n+1)时，trunc（x）=n）。
在几何画板中画出round(x)的图形，会发现只要把round的图形向右平移0.5个单位，就
得到了trunc的图形。故有round(x-0.5)=trunc(x),基于这样的原因四舍五入函数round就不必
研究了，只要沿trunc函数就可以了。对于round函数要特别注意：round(-0.5)=0,round(-1.5)=-1
而不是想象中的为-1，-2！其余情况和正常理解的四舍五入吻合。这么设计估计是为了保证
round(x-0.5)=trunc(x)成立的原因。所以本质上四舍五入函数与截尾函数是同一个函数，唯一的差别是它们的图形位置不同吧了。
接着绘制x-trunc(x)的图像：

从图2可以看出，每条小线段都是左实右空的，并且在R上非周期函数，但是x>0时周期是1，x<0时周期是 -1.看看阴影小正方形就知道了每条小线段的特征了。
  小结：
1.trunc(x)-----跳跃函数，跳跃度为1。
2.x-trunc(x)----x>0时，是周期为1的函数。
3.在0~1正方形内，trunc（x）的图形为其底边线段，x-trunc(x)为其对角线。

trunc(nx)与nx-trunc（nx）性质
  现在我们来构建两个函数，设n为自然数，记f(x)=trunc(nx) ,  g(x)=nx-trunc(nx).
由熟悉的数学知识知道，把trunc（x）的横坐标压缩1/n ，纵坐标不变就得到了函数
f(x)=trunc(nx)的图像。x-trunc（x）与g(x)=nx-trunc(nx) 的关系也是类似的。
  小结：
1.f(x)=trunc(nx)---跳跃度为1，在区间[i-1/n,i/n)上为一长度为1/n的水平线段，也可以
　　说成当定义域是,[0,1/n) [1/n,2/n) ......,[n-1/n,1)等等时，其值域是区间{0,1,2,...,n-1}
2.g(x)=nx-trunc(nx)----在x>0时是周期为 1/n 的函数，其值域是[0,1)，或者
　　当定义域是,[0,1/n) [1/n,2/n) ......,[n-1/n,1)等等时，值域是[0,1)。

接下来在x轴上从0到1绘制一线段，并在上面取一动点m，度量出点m的横坐标xm
，计算出f(xm),g(xm),这两个值一个具有跳跃度1，一个具有周期 1/n. 利用这个特性我们
描点a(f(xm),g(xm)),b(g(xm),f(xm)),现在构造m驱动点a，b的轨迹，这时我们惊奇的发现
得到了两组平行与坐标轴的线段。每条线段的长都等于1 .

把0~3的小正方形划分为9个全等的小正方形，我们发现这两组线段把0~1小正方形围了起来。这两组分别平行与x轴和y轴的线段的周期是1.
问题：能不能把竖直的小线段全部压到0~1正方形内部呢？
我们从参数方程的角度来看待点a：
　　x=trunc(n*xm),y=n*xm-trunc(n*xm).这个参数方程的图形就是竖直的线段组。第一个函数是跳跃函数，从区间[i-1，i)到区间[i+1/n,i+2/n)，跳跃1，值域是整数集合.第二个函数是周期函数(x>0时)，周期为1/n,值域是[0,1).n*xm的变化范围是[0,n).当xm属于[0,1/n)时，
　　n*xm属于[0,1),x=0,y属于[0,1),当xm属于[1/n,2/n)时，n*xm属于[1,2),x=1,y属于[1,2),
　　如此重复而已。因此x=0时，y=0.几，x=1时，y=1.几，当x=2时，y=2.几等等。
　　trunc(n*x)/n 与 [n*x-trunc(n*x)]/n
把函数f(x)=trunc(nx)，g(x)=nx-trunc(nx)分别处以n得到函数
q(x)=trunc(nx)/n 与r(x)=x-trunc(nx)/n.这两个函数有什么性质呢？由数学的变换
知识知道：
把trunc(x)的图像，先沿x轴压缩横坐标1/n,其次在把纵坐标压缩1/n即得q(x)的图像。
由于trunc是跳跃度为1的跳跃函数，在[0,1)上的值是0，在[1,2)上的值是1，在[2,3)上的值是2等等。当把它的横坐标压缩1/n 时，trunc（x）就变成了trunc（nx），此时，
当x属于[0,1/n),trunc(nx) =0，当x属于 [1/n,2/n)时，trunc(nx)=1,当x属于[2/n,3/n)时，
trunc(nx)=2如此等等。在接下来把trunc(nx)沿y轴压缩1/n,就得到了q(x)=trunc(nx)/n
的图像，此时，
当x属于[0,1/n),trunc(nx)/n =0，当x属于 [1/n,2/n)时，trunc(nx)/n=1/n,当x属于[2/n,3/n)时，trunc(nx)=2/n,如此等等.下面画出q(x)的图像：

同样，我们把x-trunc(x)的首先沿x轴压缩1/n,得到nx-trunc(nx) 的图形，再把它沿y轴压缩1/n, 就得到了r(x)=x-trunc(nx)/n的图形。我们知道x-trunc(x)是周期为1，值域为[0,1)的函数，因此r(x)=x-trunc(nx)/n是周期为1/n,值域为[0,1/n)的函数。也就是数当x跑遍
区间[i-1/n,i/n)时，其值就正好跑遍区间[0,1/n)一次。

四.再次画图
现在我们建立一个参数方程：x=trunc(n*xm)/n ,y=xm-trunc(n*xm)/n, xm属于[0,1),我们先来分析一下图形会是什么样子，再用几何画板画图验证我们的分析。第一个函数
是跳跃函数，第二个函数是周期函数。当xm属于[i-1/n,i/n)（i=1,2......）时，x=(i-1)/n,y跑遍区间[0,1)一次。因此这个参数方程描述的轨迹是n条竖直线段，这些线段经过x轴上的点，横坐标依次为0，1/n,2/n......(n-1)/n，每条小线段都垂直于x轴，长度为1/n.
图形如下：

显然，如果交换x，y描点，将得到的是垂直于y轴的图形。那么我们能不能得到长为1的小线段呢？可以。你只要把y=xm-trunc(n*xm)/n的纵坐标伸长n倍就可以了。
即用x=trunc(n*xm)/n， y=n*xm-trunc(n*xm)描绘轨迹就可以了。

网格的构建就这么简单。
如果我们在同一坐标系里绘制参数曲线：
x=trunc(n*xm)/n ,y=xm-trunc(n*xm)/n,与y=trunc(n*xm)/n ,x=xm-trunc(n*xm)/n,
你会发现将出现一个小小的正方形。这个小小的正方形可以在几何画板中迭代出网格化的空间曲线。空间画球就可以用这种方法迭代完成。这里就不着讨论了。在这里我们关心的是trunc函数的基本性质。

五.结束语
对trunc(x)函数的认识，关键是抓两点：一是从变换的角度去研究它们，二是注意和它配对的函数x-trunc(x)的性质，注意这两个函数一个是跳跃函数，一个是周期函数，并擅于从图形上理解它们的性质。
附：关于网格的构建请下载文章阅读：下载地此

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作者: xiaongxp 时间: 2012-7-12 11:28

以前只是用用而已，没有这样系统的思考过。此文甚好，拜读了大作涨见识了。

作者: 榕坚 时间: 2012-7-12 11:35

就是因为有了这个函数，才有了网格线。使几何画板能做三维函数的图象。楼主的探究精神值得借鉴。

作者: xiaongxp 时间: 2012-7-12 12:27

几何画板的设计非常独到，好像开发者有意谨遵孔夫子的“不愤不启，不悱不发，举一隅不以三隅反，则不复也”的教导一样，软件不给过多的功能，而所给的是那么的必须又必要，留给了我们无限的创作空间。如那13个函数的设置就可见一斑：在研制闭区间的整数解工具的过程中，我需要高斯函数（画板没有的），通过研究trunc、round性质的研究，终于发现了简捷的解析式[x]=round(x-.5)，在这二次开发过程中我的数学又大大长进了。所以几何画板真正搞清了“授渔”与“赐鱼”的关系，如果在教学中我们仅仅将几何画板当PPT用，那真是对几何画板的亵渎，它更应成为引导学生进行研究性学习的工具和手段。楼主的这篇文章就可作为一份上好的研究性学习材料。

作者: 柳烟 时间: 2012-7-12 12:28

抓住这系统化学习机会，受益非浅，问好。

作者: myzam 时间: 2012-7-12 13:09

5# 柳烟
这个函数我以前在用，我记得我第一次用这个函数时是在网上看到了一篇传播很广的文章：“条纹种子”说的文章。从中收获了知识。但一直以来都没好好的总结过这个函数。这几天放假就总结了一下。
其实我们上三角函数的变换时老用这些变换，过去我就没想到用那变换的观点来看截尾函数。
祝大家假期玩的好。

作者: 周传高 时间: 2012-7-12 13:41

不错，不错，思考得很深入与独到。学习了。

作者: 柳烟 时间: 2012-7-12 17:57

这个trunc函数，有跳行功能，好象常老师造的那个杨辉三角，用了此函数，大家结合楼主大师的讲解，再结合本坛一些实例，将理论与实践结合起来，定会发现这函数的妙用。

作者: yiaihua 时间: 2012-7-12 18:21

楼主的探究精神值得学习。

作者: jxxcwd 时间: 2012-7-14 19:30

好好学习！

作者: myzam 时间: 2012-7-24 17:45

几何画板还是挺好的滴
----波动的曲面
----trunc函数应用实例。
[img]

[/img]

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bd.gsp (14.91 KB) ==

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作者: klingon 时间: 2013-1-23 23:09

谢谢！几何画板真的好精妙。

作者: ysd68 时间: 2013-4-2 08:41

楼主是有心人，学习了

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