inRm3D: 画板论坛 - Powered by Discuz! Board

标题: 【求助】直线与圆的证明题 [打印本页]

作者: shengp 时间: 2011-9-12 11:47 标题: 【求助】直线与圆的证明题

相切问题。已知一半径为1，圆心为（0,1）的定圆上有A，B两点，且OA*OB=1，请问是否存在一定圆与直线AB相切。

附件: 未命名1.gsp (2011-9-12 11:47, 3.84 KB) / 下载次数 7205
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=14129&k=1215ffd02634f51dd61ea734709e4ec3&t=1732429570&sid=tXRuyr

图片附件: 捕获.PNG (2011-9-12 11:51, 27.46 KB) / 下载次数 5874
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=14130&k=6abf2c3957ee528cfa4b232ba92e03da&t=1732429570&sid=tXRuyr

作者: inRm 时间: 2011-9-12 12:13

这题目肯定抄错了

作者: 周传高 时间: 2011-9-12 12:28

条件不明确！“是否存在一定圆”，什么定圆呢？

作者: liyougui 时间: 2011-9-12 12:47

试题是正确的，存在半径为0.5，O为圆心的圆

图片附件: 7.gif (2011-9-12 12:47, 68.08 KB) / 下载次数 6854
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=14133&k=13b8c29f9e59c06720fd3cbc54d65b6b&t=1732429570&sid=tXRuyr

作者: 周传高 时间: 2011-9-12 13:11

那就要说，“圆心为（0,1）的定圆上任意A，B两点，满足OA*OB=1，请问是否存在一定圆与直线AB相切。”。表述实在是让人不明确，猜猫样的。

作者: 周传高 时间: 2011-9-12 13:26

这个题目用几何表达式来作那是简单一个。

图片附件: FS0002.png (2011-9-12 13:26, 20.1 KB) / 下载次数 5910
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=14137&k=13606aa2805b6240bfabbe178b9856de&t=1732429570&sid=tXRuyr

附件: 未命名1.gx (2011-9-12 13:26, 3.33 KB) / 下载次数 6348
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=14138&k=fac63a84db5d18a3752cf8ed75c084ba&t=1732429570&sid=tXRuyr

作者: liyougui 时间: 2011-9-12 16:52

图片附件: 111.GIF (2011-9-12 16:55, 5.7 KB) / 下载次数 6164
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=14143&k=a5ba617f28652474428c86b05b81c33c&t=1732429570&sid=tXRuyr

作者: yimin0519 时间: 2011-9-12 20:23

7楼得的解析证明过程无疑是对的。
所求定圆确实是这样的，但圆心的来历感觉有点突兀。能否不失一般性地去证明呢？

作者: shengp 时间: 2011-9-12 21:39

谢谢各位的指导！题目我在表述的时候确实说得有些不明确，让大家费心了！

作者: uuu 时间: 2011-9-13 09:52

确实为园：

图片附件: t.png (2011-9-13 09:52, 13 KB) / 下载次数 5902
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=14149&k=f06a2e920014918b691151decdb31916&t=1732429570&sid=tXRuyr

作者: zhchgao 时间: 2011-9-13 10:41

这个题目用几何表达式来作那是简单一个。
周传高发表于 2011-9-12 13:26

从这个几何表达式的演示中明显看出，A、B的活动范围有限制的。

明显地：
OA、OB线段存在时具备条件：2≥t≥0.5 。即线段的长度不小于0.5又不大于2。在这个范围内两线段存在，同时与AB相切的圆也存在。
这一个题目细究一下还是有价值的。

作者: liyougui 时间: 2011-9-13 11:05

10楼的证明，简单漂亮，用到最本质的，三点共圆（正弦定理），以及定值，
确实如8楼所说，怎么知道圆心就是那个定点的

作者: zhchgao 时间: 2011-9-13 15:23

关于原点是那个定圆的圆心的问题是探究出来的。
（1）首先考虑最特殊情况，OA与OB长度都是1时，存在一个半径为0.5的圆心在原点处的切圆。
（2）当OA≠1时，且2≥OA≥0.5 ，由于原点到直线AB的距离由8楼的公式得出恒等于0.5 。
所以过原点半径等于0.5的与AB相切的定圆是存在的。

作者: zhchgao 时间: 2011-9-13 17:18

使用几何表达式软件还可以进一步探索。如果这个固定圆存在，由于A、B运动位置的平等性则圆心一定在y轴上。让圆心的坐标为（0，l）即可。探索发现：保证圆与直线AB相切，则圆的半径在l不为零时不固定。

图片附件: FS001.jpg (2011-9-13 17:18, 64.67 KB) / 下载次数 1696
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=14154&k=216e396c0da13202caa338285a0ca980&t=1732429570&sid=tXRuyr

附件: 未命名1.rar (2011-9-13 17:19, 3.65 KB) / 下载次数 1656
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=14155&k=9a9efd41eba1b07b6a2d0f44f13c3253&t=1732429570&sid=tXRuyr

作者: liyougui 时间: 2011-9-13 17:44

OA=0.5时，OB=2这时有两条直线，当OA=OB=1时这时有一条直线，与这三条直线相切的圆，有四个，然后选择，那个满足条件。

作者: 周传高 时间: 2011-9-13 18:53

几何表达式中，看让t=0.5极限位置出来了，太方便了。

图片附件: FS0003.png (2011-9-13 18:53, 28.85 KB) / 下载次数 1540
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=14156&k=407cd7fde1f8f4fe9134f18e0c893f29&t=1732429570&sid=tXRuyr

附件: 未命名1.gx (2011-9-13 18:53, 3.28 KB) / 下载次数 1815
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=14157&k=fd141f1c954d3bef426e241e4657ca13&t=1732429570&sid=tXRuyr

欢迎光临 inRm3D: 画板论坛 (http://inrm3d.cn/)