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标题: 有奖征答：求教一平面几何问题 [打印本页]

作者: logxu 时间: 2011-5-27 11:20 标题: 有奖征答：求教一平面几何问题

请教一个问题。北京市数学竞赛初赛试题。
1.P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求三角形PBC面积。我会用余弦定理做，不知道用初中怎么做？好久不做平面几何题了，⊙﹏⊙b汗。
2.点P为正▲ABC外一点，PA=3，PB=4，PC=5，求三角形边长？

回答正确，我将赠送一本清华大学的数学电子书，市面见不到哟。

作者: sketchpad 时间: 2011-5-27 12:07

未命名1[1].gsp (4.67 KB) 1# logxu

附件: 未命名1[1].gsp (2011-5-27 12:07, 4.67 KB) / 下载次数 4291
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=12310&k=5fe4bd0783cb0c23497afc78a94991ed&t=1732428818&sid=b2rBe0

作者: stg1109 时间: 2011-5-27 15:36

请教一个问题。北京市数学竞赛初赛试题。P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求三角形PBC面积。我会用余弦定理做，不知道用初中怎么做？好久不做平面几何题了，⊙﹏⊙b汗。

回答正确，我将赠送一本清华大学的 ...
logxu 发表于 2011-5-27 11:20

请楼主共享一下吧

作者: logxu 时间: 2011-5-27 16:51

http://u.115.com/file/e6ktvg47#
计算机代数系统数学原理.主要是关于计算机的CAS即代数功能方面，个人认为值得研究一下。

作者: 雪山飞狐 时间: 2011-5-27 17:22

12310 1# logxu
sketchpad 发表于 2011-5-27 12:07

长见识啦，呵呵呵，做得很好，我又做了个标准的图，

附件: 标准图.gsp (2011-5-27 17:33, 6.96 KB) / 下载次数 2720
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=12313&k=66a3b8e972592031cbf7f586b30ed3f2&t=1732428818&sid=b2rBe0

图片附件: QQ截图未命名1.png (2011-5-27 17:36, 15.46 KB) / 下载次数 2310
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=12314&k=ad60bb3abd2e7cfeb7557a1f23c320b5&t=1732428818&sid=b2rBe0

作者: liyougui 时间: 2011-5-27 19:52

这是一道比较老的题目了，至少有20岁了

作者: zwh2010 时间: 2011-5-27 20:05

接着问：若是平面内任意一点P到正方形ABCD的顶点A、B、C的距离分别为a、b、c，那么点P到D点的距离又是多少呢？这样的正方形一定存在吗？

作者: 柳烟 时间: 2011-5-27 20:26

谢谢数学电子书，没事时翻翻。

作者: logxu 时间: 2011-5-27 20:44

翻了一下书。其实这类问题用的是旋转变换思想。比如点P为正▲ABC外一点，PA=3，PB=4，PC=5，求三角形边长？

作者: stg1109 时间: 2011-5-27 21:10

http://u.115.com/file/e6ktvg47#
计算机代数系统数学原理.主要是关于计算机的CAS即代数功能方面，个人认为值得研究一下。
logxu 发表于 2011-5-27 16:51

谢谢楼主的电子书

作者: zwh2010 时间: 2011-5-27 22:41

厉害！你就是高手，还要别人完善，谦虚。也可以按原问题的解决办法做的。

作者: sketchpad 时间: 2011-5-27 22:43

8# zwh2010
不一定存在！先算出a与b、b与c的比，再任作一正方形，用阿波罗尼斯圆交点可以分析出满足条件的点P是否存在，若存在只需缩放就可以将满足条件的正方形作出。
做得较粗糙，期待高手完善：

作图.gsp (15.67 KB)

附件: 作图.gsp (2011-5-27 22:43, 15.67 KB) / 下载次数 3236
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=12323&k=fdf71bb8851390d45a1a4c0733abd55f&t=1732428818&sid=b2rBe0

作者: sketchpad 时间: 2011-5-27 22:46

12# zwh2010
这么晚还在关注着画板论坛，佩服！

作者: zwh2010 时间: 2011-5-27 22:49

刚上线凑个热闹

作者: zwh2010 时间: 2011-5-27 22:50

我后写的怎么跑你楼上去啦？

作者: yimin0519 时间: 2011-5-28 12:47

接着问：若是平面内任意一点P到正方形ABCD的顶点A、B、C的距离分别为a、b、c，那么点P到D点的距离又是多少呢？这样的正方形一定存在吗？
zwh2010 发表于 2011-5-27 20:05

这个问题提得好，d距离是可以计算出来的，只要这个正四边形存在（存在的条件见gsp附件）。

13楼sketchpad用两阿波罗尼斯圆双轨迹求交点，不失为一种方法。其实也可以用几何作图法反推正方形。如下图所示：

4b&P.gif

研究了一下计算作法，很有趣，详见附件（包括几何作法与计算公式及其作法）：

四边形内的点.gsp (20.1 KB)

附件: 四边形内的点.gsp (2011-5-28 12:49, 20.1 KB) / 下载次数 2850
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=12339&k=f94dd28c58b4ddff072d092900b569af&t=1732428818&sid=b2rBe0

图片附件: 4b&amp;P.gif (2011-5-28 16:27, 10.67 KB) / 下载次数 1645
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=12340&k=a44bbdc48511e2ee0a283d239cd13e09&t=1732428818&sid=b2rBe0

作者: zwh2010 时间: 2011-5-28 13:00

做的都很漂亮，记录下来。画板与数学结合会让人更有兴趣。还有:
(1)P点要是不在正方形内部的时候是不是就要借助阿菠萝圆？

(2)要是在三维空间的话会是怎样的呢？
（3）在3维空间，对边长为2正方形ABCD，是否存在点P到A、B、C三点的距离为3、4、5？有的话这样的点怎么找？
（4）再来一个立体的，可用“引人3D”做做，
如果P点到正方体四个顶点的距离分别为a、b、c、d，那么这正方体还存在吗，有的话边长可算吗？

有兴趣，有空，诸位再聊聊以上问题。

图片附件: 2.GIF (2011-5-28 15:52, 5.82 KB) / 下载次数 1722
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=12341&k=356ae225e15f81b0061d2be34804e618&t=1732428818&sid=b2rBe0

作者: yimin0519 时间: 2011-5-28 13:57

翻了一下书。其实这类问题用的是旋转变换思想。比如点P为正▲ABC外一点，PA=3，PB=4，PC=5，求三角形边长？
logxu 发表于 2011-5-27 20:44

计算：

几何作图：

图片附件: 345b.gif (2011-5-28 16:22, 10.25 KB) / 下载次数 1675
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=12342&k=cc4fdac6607174b278da3228ea44a8c8&t=1732428818&sid=b2rBe0

图片附件: 345a.gif (2011-5-28 13:57, 4.54 KB) / 下载次数 1624
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=12343&k=42d6eb0d241f1aa02ca6b62929b36416&t=1732428818&sid=b2rBe0

作者: yimin0519 时间: 2011-5-28 14:05

做的都很漂亮，记录下来。画板与数学结合会让人更有兴趣。还有:
(1)P点要是不在正方形内部的时候是不是就要借助阿菠萝圆？

(2)要是在三维空间的话会是怎样的呢？
（3）在3维空间，对边长为2正方形ABCD，是否存在 ...
zwh2010 发表于 2011-5-28 13:00

呵呵，你不是在“推而广之”、“举一反三”，你是在“搞脑髓”。

【(1)P点要是不在正方形内部】，可借Apollonius圆分析，同样也可反推啊。

【(3)在3维空间...是否存在点P到A、B、C三点的距离...】缺少一个约束条件，无穷多解。

【(4)如果P点到正方体四个顶点的距离...边长可算吗？】完全可算，且计算并不复杂，但表达式？嘿嘿，“九曲黄河”。

作者: zwh2010 时间: 2011-5-28 15:17

哈哈，不是说了，有空再聊的吗？可以练习3D画板的。我觉得那软件很好但讨论的人有点少，这么好的软件不用可惜。（3）的意思就是想找出所有符合条件的点的集合，最好能用3D画出来。（4）也差不多，想问存在的条件和3D怎么画。问题虽然简单了点可也能动动脑筋嘛，总比办公室里说天地要雅致一点吧。

作者: yimin0519 时间: 2011-5-28 16:01

哈哈，不是说了，有空再聊的吗？可以练习3D画板的。我觉得那软件很好但讨论的人有点少，这么好的软件不用可惜。（3）的意思就是想找出所有符合条件的点的集合，最好能用3D画出来。（4）也差不多，想问存在的条件和3D ...
zwh2010 发表于 2011-5-28 15:17

呵呵，逼得我去计算了一下，其实边长公式并不复杂，我自己“耸听”了。

已知正方体内一点到指定的四顶点的距离，正方体边长m公式见附件（图参考18楼）。

文件为maple7生成，请用软件打开：

方体内一点.rar (2.92 KB)

你那个【引人3D】是啥东西啊。介绍一下或提供下载地址看看。
玩普通的3D求解，AutoCAD足够了。

附件: 方体内一点.rar (2011-5-28 16:00, 2.92 KB) / 下载次数 4150
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=12345&k=71f1e0c4a8f4329e92211b53864c251f&t=1732428818&sid=b2rBe0

作者: zwh2010 时间: 2011-5-28 16:47

写成别字了，英壬3D，本坛的

作者: zwh2010 时间: 2011-5-29 18:11

"（3）在3维空间，对边长为2正方形ABCD，是否存在点P到A、B、C三点的距离为3、4、5？有的话这样的点怎么找？",用3D真直观，就是画起来总感觉有点费劲

图片附件: 1.gif (2011-5-29 18:11, 32.04 KB) / 下载次数 2963
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=12385&k=deee4ffe5c0ee0db9a051611d4ac63e3&t=1732428818&sid=b2rBe0

作者: inRm 时间: 2011-5-29 19:44

24# zwh2010
“就是画起来总感觉有点费劲”——请提点具体建议。谢谢先

作者: zwh2010 时间: 2011-5-29 19:53

呵呵，作者看到啦，可能有电脑的问题，我把那个球的圆度改到88时等了一分钟才反应过来，再换颜色，透明度就都慢了，还有选点说不清楚为啥，就感觉费力，可能是用惯了几何画板。软件做的很强毫无疑问，支持你，方老师！

作者: inRm 时间: 2011-5-29 20:00

是Win7系统吗？

作者: zwh2010 时间: 2011-5-29 20:30

是xp系统。又重试了一下，是做了相贯线后出现卡的情况的。

作者: inRm 时间: 2011-5-29 21:59

的确，相贯线的计算量非常大，跟相交曲面（如球体）的网格数成正比。

作者: zwh2010 时间: 2011-5-30 10:47

个人觉得这个相贯线是软件的“亮点”之一，在几何画板里到现在为止都没有给出轨迹交点作图工具，估计就是这个原因。

作者: yimin0519 时间: 2011-5-30 15:38

24# zwh2010

哦，原来有“交点”啊：

图片附件: san002.png (2011-5-30 15:39, 39.46 KB) / 下载次数 2793
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=12418&k=123dffb987e88483e700e7c686273d6e&t=1732428818&sid=b2rBe0

图片附件: san001.png (2011-5-30 15:39, 34.76 KB) / 下载次数 2784
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=12419&k=e5cdade80610e76639386f152e8e6f8d&t=1732428818&sid=b2rBe0

作者: zwh2010 时间: 2011-5-30 16:09

31# yimin0519

yimin0519兄用的什么软件啊，本坛的吗？

作者: sketchpad 时间: 2011-5-30 16:42

31# yimin0519
好漂亮！难道这是inRm3D作出的？

作者: 清风2011 时间: 2011-6-5 21:53

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