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标题: 求解： [打印本页]

作者: xuefeiyang 时间: 2011-5-22 14:34 标题: 求解：

圆填充工具：

I.gsp (5.57 KB)

II.gsp (7.48 KB)

III.gsp (8.02 KB)

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作者: yimin0519 时间: 2011-5-22 23:13

用软件计算解一个二次方程并不费时，很快就出结果，但表达式则是“罄竹难书”！！！

有兴趣的朋友看能否利用△ABC的面积或内、外接圆的半径等替代文字符号化简下面公式（譬如像海伦公式那样简化），公式文本字符附在最后：

参考图形

插图A.gif

半径公式分步表达

为方便阅读，插图gsp文件附下：

表达式.gsp (30.27 KB)

公式正确全息文本（展开）：
分子：
2*C^3*c^2+C^2*b^2*A+A^2*B*c^2-A^2*B*b^2-B^2*b^2*A-C^2*c^2*A+B^2*c^2*A-a^2*B*b^2-a^2*b^2*A+B^2*a^2*C-B^2*a^2*A+A^2*C*b^2-a^2*C*A^2-c^2*B*b^2-c^2*C*b^2-c^2*a^2*C-c^2*a^2*A-B^2*C*b^2-B^2*C*c^2-C^2*B*c^2-C^2*B*b^2-A^2*C*c^2-B*a^2*A^2+a^2*C^2*B-a^2*C^2*A+2*B^3*b^2+2*a^2*A^3+b^4*B+a^4*A+c^4*C+sqrt((a^4+b^4+c^4-2*c^2*a^2-2*a^2*b^2-2*c^2*b^2)*(-a^2+B^2+C^2-2*C*B)*(B^2*C^2-B^2*b^2-2*B^2*C*A+B^2*A^2+2*B*b^2*A+4*B*C*A^2-2*B*A^3-2*B*A*C^2+A^4-c^2*A^2-C^2*c^2+C^2*A^2-b^2*A^2-2*A^3*C+2*C*c^2*A+c^2*b^2))

分母
-b^4+4*a^2*C*A+4*B*b^2*A+2*a^2*b^2+4*B*a^2*A+4*C*c^2*A-c^4-4*B*a^2*C+4*B*C*c^2-a^4-4*B^2*b^2-4*C^2*c^2+2*c^2*b^2+4*B*C*b^2-4*B*c^2*A-4*a^2*A^2+2*c^2*a^2-4*C*b^2*A

检验：

插图C.gif

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作者: xuefeiyang 时间: 2011-5-23 13:37

2# yimin0519

无法表达对你的感激之情！经过验证这个公式完全正确，已将其作成工具，方便玩极限圆填充的板友使用！

上传文件.gsp (6.86 KB)

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作者: yimin0519 时间: 2011-5-23 14:19

3# xuefeiyang

呵呵，没什么。推出结果只花了10来分钟，但整理表达式到是花了2个多小时。只可惜没时间再利用三角形面积、圆等一系列可替代元素精简本公式。自己眼睛都看花了。

我特意检查与验证了一下公式，只要三圆无任一内含情况，均有唯一符合该条件的公切圆存在。但刚才试用了一下工具，有这样的状况发生，如图所示：

选圆秩序不同造成这样的结果：

应当改为三圆合一之交点为公切圆的圆心，我试着修改工具，但情况依然，不是这样就是那样。
也就是说这个工具的使用和点选圆的秩序有关，希望大家都来出主意，使得该工具完美起来。

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图片附件: WT01.gif (2011-5-23 15:54, 6.52 KB) / 下载次数 3828
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作者: xuefeiyang 时间: 2011-5-23 14:30

能有这样一个公式已经相当不错了，全凭人力推演那相当的困难！我本来想借助反演推算，没想到反演的运算量也大得出奇，只好求助于象你这样的板友了！再次感谢！做成的工具也不算大，只是每进行这样一次运算都很费神，不希望有我同样想法的人再费这样的神！来到论坛，都是相互帮助，解决彼此想到但尚未解决的问题。

作者: yimin0519 时间: 2011-5-23 15:43

楼主的工具如何在乱选三圆的情况下始终保持所作公切圆是正确的那一个呢？由于几何画板两个图元就决定一个交点，大家看有什么办法解决问题。四楼的问题归结于解决下面这个问题：

图片附件: WT.gif (2011-5-23 15:43, 13.22 KB) / 下载次数 3880
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=12228&k=119d70171321fd8c520dab44d9f93ec9&t=1732427021&sid=ymo0f0

作者: zwh2010 时间: 2011-5-23 15:43

都能弄个可以进行符号运算的软件就好了，我下载了一两个发现都要注册码，不知哪有免费的或已破解的或有注册码的软件？

作者: changxde 时间: 2011-5-23 15:45

阿氏三圆问题，公式如此复杂！

作者: yimin0519 时间: 2011-5-23 16:09

都能弄个可以进行符号运算的软件就好了，我下载了一两个发现都要注册码，不知哪有免费的或已破解的或有注册码的软件？
zwh2010 发表于 2011-5-23 15:43

maple4或maple6、maple7是最好的选择，体积小巧，方便携带。一般的数学符号运算已经足够了，我们没必要去使用maple9.5——maple14这些高版本。

作者: zwh2010 时间: 2011-5-23 16:15

好的，谢谢啦。

作者: 柳烟 时间: 2011-5-23 16:18

10# yimin0519
看这帖收获不小呀。yimin0519兄曾帮我们解决过一些手工计算难以办到的事。想问问，你用的那款软件叫什么名字，是否是这里列出的低版本？能挤出时间的话，我也想摆弄摆弄。谢过胡老师的工具。一并问好各位板友。
公式已下载珍藏。

作者: yimin0519 时间: 2011-5-23 16:54

12# 柳烟

我正在上传文件，等上传好了再告诉大家的下载地址。

作者: 柳烟 时间: 2011-5-23 20:41

13# zwh2010
此链，如果用yimin0519兄台用现代化机器算出的公式，结合胡老师的工具造，将你的文件中的工具剔除，文件居12KB还多，将隐藏的显示后，算式多而复杂。我查看了你的源文件，这圆链是成等边三角形的顶点圆心的三圆弧所夹的。此链我也整过，造法简单，迭代类似于整谢尔兵司基三角形方法，就是普通菜鸟也能明白，文件4KB多点，我这链是任意三角形的三个顶点为圆心的相切三圆弧所夹。
当然，你的整法也是一种思路，学习。

极限集尝试.gsp (4.88 KB)

附件: 极限集尝试.gsp (2011-5-23 20:51, 4.88 KB) / 下载次数 3786
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http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=12240&k=e26ae69637cd211711769b2c9c603e1f&t=1732427021&sid=ymo0f0

作者: yimin0519 时间: 2011-5-23 20:50

柳烟、zwh2010两位好，我已上传maple软件，详情请看这个帖子：
http://www.inrm3d.cn/viewthread.php?tid=2742&extra=page%3D1

作者: 柳烟 时间: 2011-5-23 21:11

16# zwh2010
老兄好。别误会，我也没其它意思，只是交流点看法，参考而已。要说菜鸟，我也是个菜鸟呀。今天看这大帖，我也长进不少呀。

作者: 柳烟 时间: 2011-5-23 21:12

15# yimin0519
谢谢送来宝物，我下载去了，以后在使用时，不明白，还得向兄台讨教。

作者: xuefeiyang 时间: 2011-5-23 22:59

6# yimin0519

这个问题很好解决：把三定圆半径分别再加上公切圆半径，分别以相应圆心为圆心画圆，三圆相交于一点，那个交点就是所求圆的圆心。因为两圆都有两个交点，所以会出现异常。可以作三个加大的圆的根轴，任两条根轴的交点就是外切圆的圆心，这样作出来后就不会再出现问题了！

作者: yimin0519 时间: 2011-5-23 23:06

21# xuefeiyang

呵呵，有道理，我怎么就忘记根轴了呢，前天我还完善了那个根轴工具啊。

作者: xuefeiyang 时间: 2011-5-23 23:07

工具文件已更新，请再测试。

作者: xuefeiyang 时间: 2011-5-23 23:09

14# 柳烟

这个工具并非为了作三切圆的公切圆，而是为了作外离三圆的公切圆而制。但公切圆而言，很早就由梅老师说过计算公式。

作者: xuefeiyang 时间: 2011-5-23 23:25

4# yimin0519

不知你能不能再帮忙解决一下这个计算公式的问题？

asdfasdf.gsp (4.53 KB)

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附件: asdfasdf.gsp (2011-5-23 23:25, 4.53 KB) / 下载次数 3850
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=12246&k=3706dacbc45f2f1e7a31c611f579572f&t=1732427021&sid=ymo0f0

作者: 柳烟 时间: 2011-5-23 23:45

24# xuefeiyang
我知道并非为作公切圆的公切圆，我就上面板友的公切圆的公切圆谈一点意见呀。

作者: yimin0519 时间: 2011-5-23 23:50

24# xuefeiyang

很好，再一次收藏。

但有一个遗憾的现象，不是计算公式、也不是这个工具的问题：

当符合本条件的公切圆（阿氏圆问题其它7个公切圆不计）半径计算结果超出几何画板的有效计算值范围时，那个公切圆就不见了。不知几何画板有效数值到底是多少位数字。

作者: 柳烟 时间: 2011-5-24 00:02

胡老师更新后的公式，测试后不错，收藏备用。yimin0519兄有空时，就同样的三圆半径及圆心距已知，用软体算出与这三圆均内切时的圆半径的计算公式，以成全碧。

作者: yimin0519 时间: 2011-5-24 04:43

4# yimin0519

不知你能不能再帮忙解决一下这个计算公式的问题？
12245
12246
xuefeiyang 发表于 2011-5-23 23:25

解方程花了20分钟不到，整理、验证公式及书写表达式却花了近4个小时，终于出炉了，书写的表达式未经验证，如有问题，请反馈。
公式检验数据:{a=50，b=55，c=65，R=100，A=20，B=100，C=25}
计算结果：r1=61.57395970411... r2=18.620402290136...

求解.gsp (35.97 KB)

附件: 求解.gsp (2011-5-24 04:43, 35.97 KB) / 下载次数 3950
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=12248&k=11e3c04704f78a9bb5957a58478e2df1&t=1732427021&sid=ymo0f0

作者: yimin0519 时间: 2011-5-24 04:55

胡老师更新后的公式，测试后不错，收藏备用。yimin0519兄有空时，就同样的三圆半径及圆心距已知，用软体算出与这三圆均内切时的圆半径的计算公式，以成全碧。
柳烟发表于 2011-5-24 00:02

是这个意思么？

图片附件: 这样.gif (2011-5-24 04:55, 5.25 KB) / 下载次数 2716
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=12249&k=fd7d87cbce748048602efc64d62576ca&t=1732427021&sid=ymo0f0

作者: 柳烟 时间: 2011-5-24 07:46

30# yimin0519
正是此意。

作者: yimin0519 时间: 2011-5-24 15:44

31# 柳烟

maple的计算文件，有点乱，供参考。

含切圆.rar (9.05 KB)

这次没时间把公式搞得漂亮一点了，将就一下吧(在gsp文件插图里)：

文件：

含切三圆.gsp (29.44 KB)

图片附件: sanyuan.gif (2011-5-24 15:44, 13.92 KB) / 下载次数 2832
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作者: 柳烟 时间: 2011-5-24 16:59

辛苦了，谢谢。顺便造一个内包三切圆工具，大家测试测试看有无问题。

内含三切圆工具.gsp (7.24 KB)

附件: 内含三切圆工具.gsp (2011-5-24 18:27, 7.24 KB) / 下载次数 4105
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作者: xuefeiyang 时间: 2011-5-24 20:33

25# yimin0519

画板验证完全正确。谢谢，你帮了大忙了！有了这几个公式及工具，填充圆就相对来说容易多了！另外我把这三个工具放到一楼，供需要的板友下载使用。

作者: xiaongxp 时间: 2011-5-24 21:01

胡兄和yimin的工作意义重大，它在圆极限分形方面的贡献与胡兄的放缩框架在复分形方面的贡献交相辉映，是画板分形的大事件！

作者: yimin0519 时间: 2011-5-24 23:38

呵呵，试用了一下1楼的3个“成人用品”工具，在既定的条件下，堪称完美。咔爽！

阿氏圆8个搞定了3个状态的。

作者: xuefeiyang 时间: 2011-5-26 12:59

32# yimin0519

这都是你给的公式的功劳啊！计算中会遇到很多复杂的计算问题，不得不麻烦你！下面是又一个问题，我无法完成这个计算：

如图所示,点Ｄ是三角形ＡＢＣ的重心，点Ｅ分有向线段ＢＣ所成的比为k，直线ＤＥ交过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的圆于点Ｆ，求ＤＦ：ＤＥ的值。

图片附件: 未命名.jpg (2011-5-26 12:59, 17.07 KB) / 下载次数 3073
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作者: yimin0519 时间: 2011-5-26 22:51

33# xuefeiyang

解答与推导花了将近1小时，化简却花了约7小时，这是我遇到最难化简的解析式之一。由于maple的对根号内的复杂表达式的正负判断比较“弱智”，全靠人工操作，加之未能确定三角形种类（有无钝角），所以导致化简难度成几何级数加大。总算出炉了，未经详细验证，老话一句：请反馈。

表达式帖子里显示不全，见gsp附件：

比值.gsp (24.8 KB)

如比值结果仍为负值，请作正值处理（再加个绝对值）。

附件: 比值.gsp (2011-5-26 22:51, 24.8 KB) / 下载次数 5193
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=12304&k=4bfd77928ec9c5be0f7b920bd4b8f8ba&t=1732427021&sid=ymo0f0

作者: xuefeiyang 时间: 2011-5-27 21:10

34# yimin0519

受累了，谢谢！请问这些计算都是用maple完成的？用这个软件能求出任意方程的根的表达式吗？象多项式方程，超越方程的求解公式都可以完成吗？比如复系数一元四次方程的求根公式，形如ln(x)-sin(3x)-1=0之类的方程能解出来吗？

作者: xuefeiyang 时间: 2011-5-27 21:12

如果这些方程的求根公式有个最简单的表达形式，那么就可以作出一些画板基本工具，我在做分形时会经常要用，当然也可以用于其它方面。

作者: yimin0519 时间: 2011-5-28 17:52

34# yimin0519

受累了，谢谢！请问这些计算都是用maple完成的？用这个软件能求出任意方程的根的表达式吗？象多项式方程，超越方程的求解公式都可以完成吗？比如复系数一元四次方程的求根公式，形如ln(x)-sin( ...
xuefeiyang 发表于 2011-5-27 21:10

所有的数学计算软件都一样，没有哪一款能解出三次方程以上根的表达式和一般超越方程的解，maple也不例外，它只是在符号计算功能方面比其它几款强些罢了，对于具体系数量化的高次方程（不能分解因式成低阶方程的那种）求解，其fsolve的精度倒是挺高的，可以精确到小数点后几万位（你也可以自行设定精度）。

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