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标题: 谈谈单位1 [打印本页]

作者: pxc417    时间: 2011-5-3 21:43     标题: 谈谈单位1

        有好几位老师问我:你认为自然数“自然”在哪?

我好像在哪看到过一个解释,但确实也记不得了。

但既然是问我个人的看法,我也说一说,供大家参考。

举个最简单的例子吧,1条鱼有1.1公斤。

这句话中出现了1和1.1,很显然,按照我们对自然数的界定,1是自然数,1.1不是自然数。原因就是鱼的条数是天然单位,确定起来容易,没什么可争议的。但1.1公斤是鱼的重量,如果拿更精确的秤来称,可能是1.11公斤呢?

可见自然与否,还是显然易见的。

那哪个数是第一个自然数呢?这是一个存在争议的问题。

在数论专家看来,1是第一个自然数。而在集合论研究者看来,0才是第一个自然数。

那么中小学老师该听谁的呢?听教育部的。

专家说的都是浮云,只有教育部制定的课程标准才是最硬的。

而从数学史的角度来说,人们认识1远比认识0要早。在所有自然数中,即便1当不了领头羊,它也有着自己的独特魅力。那就是1还可以升级为抽象意义中的单位1。

森林里有很多树。

当我们说“一棵树”时,就是将一棵树看作是1个单位。

当我们说“一片树林”时,就是将一片树林看作是1个单位。

1就好像是孙悟空的金箍棒,可变大也可缩小,看你怎么用着方便就好。下面这个故事中的小学生就把单位1的思想用到了极致。

古时候,一位国王问身边的大臣:“王宫前面的水池里共有几杯水?”

大臣回禀:“这种问题只要问一个小学生就能得到正确的答复。”

于是一个小学生被召来了。

“王宫前面的水池里面共有几杯水?”国王问他。

“要看是怎样的杯子,”小学生不假思索地应声而答,“如果杯子和水池一般大,那就是一杯,如果杯子只有水池的一半大,那就是两杯,如果杯子只有水池的三分之一大。那就是三杯。如果……”

“你说得完全对!”国王说着,奖赏了小学生。

池子里的水当然可以看作是1个单位,至于找不找得到承载“这1个单位”的水的容器,那是另外一回事了。

还有一个小气鬼做帽子的故事也很有意思。

有个小气鬼拿了一块布去请一个裁缝做一顶帽子。他问布够不够?裁缝量了布之后说:布够了。但是,这个小气鬼疑心裁缝要赚他的布。于是,他就问这块布够不够做两顶帽子?裁缝看透了他的心思,就回答说:够做。小气鬼还不罢休,又问够不够做三顶帽子?……他添上一顶又一顶,直到五顶,裁缝总说能够做。就这样,他们谈妥了,这块布做五顶帽子。

等到约定取帽子的那一天,小气鬼到了裁缝店。他看到裁缝拿出做好的五顶帽子,小得只能套在手指头上。小气鬼发现自己上了当,于是就到桑丘总督那里告裁缝的状。

在法庭上,原告小气鬼坚持要裁缝赔他的布,而被告裁缝却坚持要小气鬼付工钱。桑丘总督听了两人的话之后,作了这样的判决:裁缝不准要工钱,小气鬼也不准要布;做好的帽子充公,送到牢里给囚犯用。

那么裁缝与小气鬼的争吵,究竟是因为什么而引起的呢?

其实就是对单位1的看法不同。裁缝认为只要每顶帽子的基本部件齐全,就是一顶合格的帽子,小一点就小一点。一个单位1分解之后,可以得到很多个单位1。而小气鬼也是自作自受,只讲数量,也没指定一定要符合自己头的大小尺寸。

单位1就像孙悟空的毫毛一样,一根毫毛可以变出很多东西来。

单位1在小学数学解题中很有作用,在奥数题中的作用更是让人吃惊。下面两道小学奥数题,我原以为都是要列三元一次方程才能解决的,结果单位1出马,轻松搞定!



例1:张、王、李三人共有54元,张用了自己钱数的3/5,王用了自己钱数的3/4,李用了自己钱数的2/3,各买了一支相同的钢笔。张和李两人剩下的钱共有多少元?

解法1:设张、王、李各有x、y、z元,列方程:x+y+z=54,3/5x=3/4y=2/3z,则x=10/9z,y=8/9z,z=18;所以(1-3/5) x+(1-2/3)z=7/9z=14。

解法2:设钢笔价格为单位1,则张有5/3,王有4/3,李有3/2,这样钢笔价格是54÷(5/3+4/3+3/2)=12元。张剩下12×(5/3-1)=8,李剩下12×(3/2-1)=6,所以张和李共剩下8+6=14元。



例2:甲、乙、丙三个好朋友去超市买了100元的商品。如果甲付钱,那么甲剩下的钱将是乙、丙剩下钱的2/13;如果乙付钱,那么乙剩下的钱将是甲、丙剩下钱的9/16;如果丙付钱,丙用他的会员卡就可以享受9折优惠,只需付90元,那么丙剩下的钱将是甲、乙剩下钱的1/3。问:甲、乙、丙开始时一共带了多少钱?

解法1:设甲乙丙各带x,y,z元,列方程:

x-100=2/13×(y+z)

y-100=9/16×(x+z)

z-90=1/3×(x+y)

解得:x=200,y=370,z=280。

解法2:将总钱数少100看做单位“1”。甲剩下的钱占“2/15”,乙剩下的钱占“9/25”,那么丙全部的钱加100元占整体的1-2/15-9/25=38/75,这样丙花90元,是“38/75”少190元。此时剩下的钱是丙的4倍,是“152/75”少760元。而这个数目应当是“1”多10元。因此“1”是(760+10)÷(152/75-1)=750元。甲带钱750×2/15+100=200;乙带钱750×9/25+100=370;丙带钱750×38/75-100=280。

所以说,当你看到一个小学奥数题,切莫轻易下判断,这要用中学的知识才能解,更不着大声批判:奥数题就是拿高年级的题为难低年级的学生。

我在《“提前学”还是“温故知新”》一文中说过:当我们遇到一个问题解答不了,我们应该反思:是数学知识储备还不够,还是知识储备够了,只是我们没有灵活地运用?如果是知识储备不够,那么我们就应该去多学一点;如果是没有灵活运用已有知识,那么我们就应该多思考,“温故”也是“知新”的一条途径。



下面是《天龙八部》中一段,很让人受启发。



枯荣大师道:“本因,咱们练功习艺,所为何来?”

本因没料到师叔竟会如此询问,微微一愕,答道:“为的是弘法护国。”

枯荣大师道:“外魔来时,若是吾等道浅,难用佛法点化,非得出手降魔不可,该用何种功夫?”

本因道:“若不得已而出手,当用一阳指。”

枯荣大师部道:“你在一阳指上的修为,已到了第几品境界?”

本因额头出汗,答道:“弟子根钝,又兼未能精进,只修得到第四品。”

枯荣大师再问:“以你所见,大理段氏的一阳指与少林牛花指、多罗叶指、无相劫指三项指法相较,孰优孰劣?”

本因道:“指法无优劣,功力有高下。”枯荣大师道:“不错。咱们的一阳指若能练到第一品,那便如何?”

本因道:“渊深难测,弟子不敢妄说。”

枯荣道:“倘若你再活一百风,能练到第几品?”

本因额上汗水涔涔而下,颤声道:“弟子不知。”

枯荣道:“能修到第一品么?”

本因道:“决计不能。”

枯荣大师就此不再说话。

本因道:“师叔指点甚是,咱们自己的一阳指尚自修习不得周全,要旁人的武学奇经作甚?明王远来辛苦,待敝寺设斋接风。”这么说,自是拒绝大轮明王的所求了。


彭翕成     pxc417@126.com  

武汉华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心  430079

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