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标题: 双曲几何与分形探究 [打印本页]

作者: xuefeiyang 时间: 2011-3-8 10:42 标题: 双曲几何与分形探究

分形图形如果绘制于双曲空间上，那将会把无限的图形绘制于有限的空间中。但画板演绎双曲几何需要较高的画板应用技术与相关的数学与编程知识，可以尝试着看看能否完成。

作者: xuefeiyang 时间: 2011-3-8 18:27

问题1
第一章分式线性变换中的第一节里遇到这样一个问题：复系数方程的根的问题。
如何求任意一个复系数一元方程的根：其基本形式是f(z)=0.
（1）复系数一元整式方程的根：f(z)=a0*x^n+a1*x^(n-1)+....+an=0
（2）一般复系数方程的根的确定：f(z)=0

作者: xuefeiyang 时间: 2011-3-8 18:30

对于（1），现在已知除了一元一次，二次，三次，四次之处没有求根公式，这是已经证明了的问题。至于一到四次方程的求根公式，常老师已经给出了画板求根公式的工具。其它方程的根的确定现在已有的做法就是数值迭代法求其有一定精度的根。为了方便我把这个工具放在这里：

复系数1234次方程(2).gsp (92.97 KB)

附件: 复系数1234次方程(2).gsp (2011-3-8 18:36, 92.97 KB) / 下载次数 2860
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=10641&k=08daa1b8066500270926a4e4ad51a5a1&t=1715505025&sid=o5JJsY

作者: xiaongxp 时间: 2011-3-8 19:08

《双曲几何与分形探究》这个论题太吸引人了，我也在思考这个问题。我想，应该解决两个问题：
1.如何用画板构造任意双曲正多边形？
2.如何用画板将初始元以[p，q]双曲压缩方式迭代生成极限集分形？

作者: xuefeiyang 时间: 2011-3-8 19:23

请向兄参与这个课题的研究！这里有很多问题需要探讨。我们先搞清双曲空间的特征。双曲空间与欧氏空间的度量都变了。双曲平面内的圆与直线高度统一。这个统一是解决双曲几何的难题。我们先不涉及。先解决一些外围问题。

作者: xuefeiyang 时间: 2011-3-8 19:24

问题（2）可用牛顿迭代法解决，我也把这个工具放在这里：

解.gsp (6.81 KB)
用这个工具可以求出中学数学中所涉及到的绝大多数方程的求根问题。只不过求出来的只是近似解。

附件: 解.gsp (2011-3-8 19:24, 6.81 KB) / 下载次数 2878
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=10643&k=d3096a88315d3514e275173a11be3e5f&t=1715505025&sid=o5JJsY

作者: xuefeiyang 时间: 2011-3-8 19:36

问题2
球极投影及其应用：在三维空间中取定一个直角坐标系OXYZ，并作一个以点（0，0，0.5）为中心，半径为0.5的球面。这样坐标平面OXY内的任一点(x,y)都可以用变换x'=x/(1+x^2+y^2),y'=y/(1+x^2+y^2),z'=(x^2+y^2)/(1+x^2+y^2)与球面内的点建立一一对应关系。也即可以把平面内的所有点映射到球面上去。注意一点的是无穷远点映射到北极点N（0，0，1）。

作者: xuefeiyang 时间: 2011-3-8 19:43

问题3
分式线性变换的基础工具：交比及其应用。

作者: changxde 时间: 2011-3-8 19:45

期待中......

作者: xuefeiyang 时间: 2011-3-8 19:47

（1）交比的定义：对于复平面内任意不同的四个点z1,z2,z3,z4,定义：(z1-z3)(z2-z4)/((z2-z3)(z1-z4))为这四个复数的交比，记作[z1,z2;z3,z4]

作者: 榕坚 时间: 2011-3-8 21:35

想上传一本电子书，可是权限不够,需要的自己网上搜一下：http://bbs.zbjy.cn/attachment.ph ... d4&t=1299571322

作者: xuefeiyang 时间: 2011-3-8 21:43

上传到哪一位板友的网络硬盘上吧！谢谢了！

作者: 榕坚 时间: 2011-3-8 21:50

已麻烦方老师帮忙上传了。

作者: 柳烟 时间: 2011-3-8 21:53

这几天学东西累得够呛。那位板友有双曲几何方面的电子书或仿射几何方面的电子书，贡献一下，原来学校学的书，走的时候甩在学校里了。

作者: xiaongxp 时间: 2011-3-8 22:13

李忠的《双曲几何》http://u.115.com/file/f1dffe3e58#

作者: admin 时间: 2011-3-8 22:20

谢谢 xiaongxp，为本坛节约点空间。

作者: 柳烟 时间: 2011-3-8 22:27

15# xiaongxp
谢谢向老师。

作者: changxde 时间: 2011-3-8 22:32

搜了一下，这里有几百本数学书可下
http://www.madio.net/forum-viewt ... a--ordertype-1.html

作者: xuefeiyang 时间: 2011-3-10 19:30

8# xuefeiyang

关于交比有一个比较有意义的结论：四点z1,z2,z3,z4共圆（包括四点共线）的充要条件是它们的交比为实数。当这个实数作为参数由负无穷变化到正无穷时，第四个点的轨迹为一个圆或是一条直线。这个结论实现了圆与直线的统一。但有一个问题就是画板作图时，因为轨迹采样数的有限性，圆可能会出现不正常现象。不知各位有没有好的解决办法。如果能解决，那么我们就可以在画板中实现圆与直线的统一，这为画板演绎双曲几何搬掉了一块大石头。

作者: 榕坚 时间: 2011-3-10 20:28

直线倒是比较到位，就是圆遗憾了。加大采样数量会好一些，但这样对构造分形来说就限制了迭代次数。

附件: 未命名2.gsp (2011-3-11 08:26, 8.04 KB) / 下载次数 1720
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=10666&k=47f7994d2fb6457f104dba84d523dbc5&t=1715505025&sid=o5JJsY

作者: xuefeiyang 时间: 2011-3-10 21:44

20# 榕坚

这也正是庄老师做到中途放弃的原因。我想能不能用一种变通的办法把圆与直线这两者合二为一。能不能用我们作分形时所用的二项选择，当圆的曲率小到一定程度时用直线来代替呢？

作者: uuu 时间: 2011-3-11 16:11

不以园心为对称点的正六边形

附件: 正六边形.gsp (2011-3-11 16:11, 12.13 KB) / 下载次数 1511
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=10684&k=45c2acc6bff36ec553760c981744d9e8&t=1715505025&sid=o5JJsY

作者: xuefeiyang 时间: 2011-3-11 21:09

22# uuu

欢迎新朋友的加入！

作者: xuefeiyang 时间: 2011-3-11 21:14

单比与交比工具：

jb.gsp (22.01 KB)

附件: jb.gsp (2011-3-11 21:14, 22.01 KB) / 下载次数 2589
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=10685&k=dcc923438836b8552115e82250b47025&t=1715505025&sid=o5JJsY

作者: uuu 时间: 2011-3-13 20:13

23# xuefeiyang[/

还要多向您学习。

图片附件: [6,5].png (2011-3-13 20:13, 35.55 KB) / 下载次数 975
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=10721&k=c4b6aa4306d6a5495885769d2233c4d1&t=1715505025&sid=o5JJsY

作者: xuefeiyang 时间: 2011-5-3 10:46

以两定点为端点且与定圆正交的圆弧如何作？
一般情况下都是作这两个定点其中一个点关于定圆的反演点，这三个点可以确定一个圆，这个圆如果存在且能确定，则这个圆肯定与已知圆正交。但这种作法有些特殊的情况作不出来：当这两个定点至少有一个在定圆上时。如何解决这个问题呢？
作者: xuefeiyang 时间: 2011-5-15 19:56

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2011-5-15 19:56

图片附件: 庞加莱.jpg (2011-5-15 19:56, 62.23 KB) / 下载次数 1394
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=12130&k=5f76cd79db778e0ab244741acbfee22b&t=1715505025&sid=o5JJsY

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