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标题: 关于函数图象的作法问题 [打印本页]

作者: xuefeiyang 时间: 2011-2-7 17:05 标题: 关于函数图象的作法问题

用几何画板可以作出如下几类函数的图象：
在这里我只想提出问题和解决问题的思路，至于具体的作法，不同人有不同的思维，可以取百家之长成一家之法，每一个对此问题感兴趣的板友都可以积极思考，既要参考他人的作法也要有自己的思考，简单的模仿是很难有重大的发现。只有深刻的思维才会成就科学的内化。
1.任意隐函数的图象：
如果给出的是函数表达式可以用扫描法绘制函数图象；]
如果给出的是参数方程可以用轨迹法作函数的图象；
2.任意几何表达式的给出的曲线的方程：
到三定点距离和等于定长的点的轨迹(PA+PB+PC=10)就可以用扫描法绘制该曲线；
3.迭代法绘制曲线。主要可以从搜索平面内符合要求的点并将其绘制出来达到作出曲线的目的。
这些问题并非是什么新问题，网络上已有不少作图的思路。只不过是有些思路更好一些，我想肯定有不少更好的思路等待着你去开发与完善！

作者: inRm 时间: 2011-2-7 17:33

高明！

作者: xuefeiyang 时间: 2011-2-7 17:40

等距螺线与等距螺面：

图片附件: Snap3.jpg (2011-2-7 17:40, 26.96 KB) / 下载次数 3312
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=10044&k=643d03eb9af9ad677ea1424cea54855a&t=1732426947&sid=29we99

作者: xuefeiyang 时间: 2011-2-7 17:43

2# inRm

在你面前谈不上高明啊！方老师！

作者: 老秋 时间: 2011-2-7 19:52

1# xuefeiyang
希望您把每种情况做一个例子，便于大家学习

作者: 田野风 时间: 2011-2-7 20:47

1# xuefeiyang
希望您把每种情况做一个例子，便于大家学习
老秋发表于 2011-2-7 19:52

同感。分享一下，

作者: liyougui 时间: 2011-2-8 09:52

轨迹法做隐函数图像一例（给出二元方程）

guijifa.gsp (5.63 KB)

附件: guijifa.gsp (2011-2-8 09:52, 5.63 KB) / 下载次数 4960
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=10049&k=47661b1ba534df801417e3027f8e7de5&t=1732426947&sid=29we99

作者: liyougui 时间: 2011-2-8 10:36

扫描法画图像

扫描法画图像.gsp (4.69 KB)

附件: 扫描法画图像.gsp (2011-2-8 10:36, 4.69 KB) / 下载次数 4723
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=10052&k=0b471854257a5a24d45ff8b9e89cac13&t=1732426947&sid=29we99

图片附件: 未命名.GIF (2011-2-8 10:36, 10.36 KB) / 下载次数 2960
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=10053&k=f29dadffb98fb7a27754696402361163&t=1732426947&sid=29we99

作者: 田野风 时间: 2011-2-8 12:59

8# liyougui

下载学习。

作者: xuefeiyang 时间: 2011-2-8 14:36

迭代法：

搜索法.gsp (10.55 KB)

附件: 搜索法.gsp (2011-2-8 14:36, 10.55 KB) / 下载次数 4826
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=10054&k=322c56aa4e55b170091fd179d4dbf6fa&t=1732426947&sid=29we99

作者: 田野风 时间: 2011-2-8 14:58

迭代法：
10054
xuefeiyang 发表于 2011-2-8 14:36

太高了，。

作者: 津华园 时间: 2011-2-9 22:37

建议xuefeiyang老师将每种做法举个实例，附带源文件，作出简短说明，可考虑再将很久之前的两个关于函数作图的帖子“分段函数完美方案”和“周期函数完美方案”收录本帖，打造关于特殊函数函数作图的“经典之帖”，造福各位板友！
并建议周老师加精！

作者: changxde 时间: 2011-2-10 09:52

学习迭代法.gsp (6.83 KB)
当n稍大时机器受不了。

附件: 学习迭代法.gsp (2011-2-10 09:52, 6.83 KB) / 下载次数 3267
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=10067&k=f24d1f521e371d05ee6da1fb8b1022db&t=1732426947&sid=29we99

作者: xuefeiyang 时间: 2011-2-10 10:06

13# changxde

这种作法迭代次数没必要太大，因为再增加迭代次数并不能改变图象的精度。一般正常窗口10次迭代是极限，再大分格大小就超过人的视觉能够感知的范围了。再者当分格的小于可视化的点的大小时那点也不可能再因分格的变小而变小了。

作者: changxde 时间: 2011-2-10 10:12

我的机子配置低 n=10 就有点受不了了

作者: xuefeiyang 时间: 2011-2-10 10:39

轨迹法作参数方程的曲线：

轨迹法作参数方程的曲线.gsp (6.42 KB)
第一个是函数的图象，注意第二个就不是中学所定义的函数图象，而是一个隐函数的图象或者说是一条曲线。

附件: 轨迹法作参数方程的曲线.gsp (2011-2-10 10:39, 6.42 KB) / 下载次数 3809
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=10068&k=40669ce36db7111ac9be24d263c9e639&t=1732426947&sid=29we99

作者: xiaongxp 时间: 2011-2-10 11:07

胡兄新年好！很久不见现身了，不知到座深山大泽去修炼去了，要不，怎能一出手又来此思想和方法俱佳力作？

作者: xuefeiyang 时间: 2011-2-10 11:17

向兄新年好！这一段时间在整理以前所完成的。自从迷上了分形对画板的应用集中在复变函数上。想想画板可以用来解决很多数学分支的绘图和计算问题，想拓展一下对画板的理解和运用。除了欧氏几何外还有罗氏几何也就是双曲几何，微分几何，方程与曲线中都可以使用画板来作为一种猜想与验证的手段。梦想能够实现对一般方程的解法与曲线的绘制有一个比较完美的解决方案。但还有很多问题等待着解决！路还很长很长。好在有画板这个工具，使一些想法有了实现的可能性。

作者: xuefeiyang 时间: 2011-2-10 11:20

运用简易坐标系绘制空间曲线-轨迹法.gsp (7.01 KB)

附件: 运用简易坐标系绘制空间曲线-轨迹法.gsp (2011-2-10 11:20, 7.01 KB) / 下载次数 3662
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=10070&k=a502b7b80a331aea9e0fec77bcd3ab19&t=1732426947&sid=29we99

作者: xiaongxp 时间: 2011-2-10 11:21

搜索法和扫描法都有不尽人意的地方：
扫描法得到的“线”只是在视觉上得到了满足了需求，不是真正的线型对象，不能应用于曲线研究。搜索法得到的“线”是迭代象，可以选中，但不是路径对象，应用中也有局限性。对于几何画板而言，能否找到一种方法，把隐函数作成路径对象，这是一个任务艰巨、可能难以实现而又意义深远的课题。

作者: xuefeiyang 时间: 2011-2-10 11:53

20# xiaongxp

向兄是想用轨迹法绘制出所有方程的曲线，对吗？这有一点不现实：几乎所有的软件都是采用最近点连接法作轨迹，就我们现在所用的这些软件：几何画板，inRm3d，mathmatic，matelable等等都无例外。而一些复杂隐函数的曲线有些点的距离都是相当近的。一个特例就是魏尔斯特拉斯函数，用这些软件作函数图象都是轨迹法，都无例外地出现粘连现象。这并非函数图象的本来面目。产生这种现象的原因都是基于一点，线本身是无粗细的，应该说是不可见的，但视觉上的要求都是可视化的，这一固有的矛盾如何解决呢？从这一意义上说函数图象本身就是一种近似，抽象与直观的调和！

作者: inRm 时间: 2011-2-10 12:17

这分析是相当嘀透彻。

作者: xuefeiyang 时间: 2011-2-10 13:26

考察一下现实生活中线的意义无例外的是作为区域的交，可说是区域的分界线。从这个意义上说刻画曲线相对来说更容易，也更准确，但这种刻画方法更无向兄所说的作为数学研究的作用可言。这种刻画方法我曾在《征解》那一帖中发有图形。可以通过对比发现这种刻画线是连续且光滑的，不存在一般作法中的粘连与断线。

作者: xuefeiyang 时间: 2011-2-10 13:34

函数图象或者说是方程的曲线，我觉得其数学意义无外乎给了一些抽象的数学赋予了一种直观，更容易理解。对于想象力超强的人来说，它是可有可无的。但人们对客观事物的认识总是由浅入深，这个过程中它才有用。比方说当我们对抛物线一无所知的时候，借助二次函数的图象来认识其几何性质是必要的，但作为高中或者说是初中数学教师来说，即便是不作它的图象我们也能有条不紊地说出它都有什么几何性质，这个时候抛物线对这些教师来说就成了无意义的了。从这个意义上来说，曲线的方程或是函数的图象就不必强求用光滑的轨迹来刻画，只要能够准确地反映出曲线上的点的位置即可。

作者: xiaongxp 时间: 2011-2-10 14:46

前面这些方法，都创造性地给出了绘制一条曲线的解决方案，胡兄的分析更是深入浅出。我的想法是，要能找到一种方法，把隐函数的图象作成实体线或轨迹线，可以在上面取点，可以求两条曲线的交点，借以研究一曲线与另一动态曲线的位置关系，那就好了。

作者: xuefeiyang 时间: 2011-2-10 15:05

25# xiaongxp
两条曲线的交点问题应归结为方程组的解的问题。而方程组的解最终又化归为方程的解。就最简单的多项式方程，当次数超过五次以后也没有求根公式可用了。一般都采用数值计算的方法，给出一定精度的近似解。比方说z^3-1=0的解，如果用曲线的交点来求其近似根的话，可以这样做，在同一坐标系下绘制曲线r^3*cos(3theta)-1=0和r^3*sin(3theta)=0然后将其交点处放大10^10倍，再度量这个交点位置的坐标，就可以得到精度为10^-9的近似解了。

作者: xuefeiyang 时间: 2011-2-11 16:43

在研究空间几何时，往往需要多元参数。在画板中多元参数的构造往往用的是映射。而映射是数学中的一个基本概念，也是一个重要的概念。所有玩数学或是与数学相关的人都自觉不自觉在运用映射这一基本概念。象我们平常所说的实数与数轴上的点之间是一一映射。在画板中作几何图形时，尤其是作空间图形时，我们不得不运用映射来构造多元独立参数。绘制空间曲面需要二元参数。如抛物面：z=x^2+y^2，就需要两个独立的参数x,y。所谓独立是一个变量取一个值时，另一个变量会取遍其取值范围内的所有值。在一条线段上任取一点，度量其点的值，我们得到一个一元参数。如何由这个单参数生成一个二元参数叫呢？这是画板作图中维度拓展的基础。如果我们要作空间几何体，那就需要三个独立的参数。如何由一个参数生成三个独立的参数呢？这将是第二个参数构造的问题。网上已有不少构造独立参变量的算法。能否引入画板构造呢？

作者: xuefeiyang 时间: 2011-2-13 20:52

复杂曲线1：复杂曲线.GIF

复杂曲线2：

复杂曲线3：

复杂曲线4：

复杂曲线5：

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http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=10118&k=6bff0de7861521adea264112631e4400&t=1732426947&sid=29we99

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http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=10120&k=5d7a6743128203d4dc3bb9d131c98349&t=1732426947&sid=29we99

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作者: xuefeiyang 时间: 2011-2-13 21:17

复杂曲线6：

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作者: xuefeiyang 时间: 2011-2-13 21:22

区域变换f(z)=z^2：

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作者: xuefeiyang 时间: 2011-2-13 21:25

很难看懂的几何体：

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作者: zhengmh 时间: 2011-2-14 16:26

轨迹法做隐函数图像一例（给出二元方程）
10049
liyougui 发表于 2011-2-8 09:52

这种没有交叉项的方程用此法可行，希望探讨一下含交叉项的二元方程如何解决。

作者: zhengmh 时间: 2011-2-14 16:32

10# xuefeiyang

请教一下，我这个算什么方法，好象是用扫描原理，但却是轨迹簇。困惑了

轨迹簇法作二元方程图象.gsp (5.1 KB)

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作者: xuefeiyang 时间: 2011-2-14 19:44

33# zhengmh

请看这里：http://www.inrm3d.cn/redirect.ph ... o=lastpost#lastpost，你的作法实际上是再一次对这里的轨迹作轨迹，就产生了轨迹簇。那里的作法是扫描轨迹，你们两个的的作法类同。共同的不足之处是这样作出来的图象粗细不均匀。

作者: xuefeiyang 时间: 2011-2-14 19:52

下图是我用轨迹法作的，用到牛顿迭代法。

轨迹法作隐函数图象——牛顿迭代法.gsp (7.47 KB)

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http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=10133&k=e606907fe7e1c6687733432c8a15d061&t=1732426947&sid=29we99

作者: zhengmh 时间: 2011-2-14 20:13

35# xuefeiyang

这方法好！学习了。

作者: xuefeiyang 时间: 2011-2-14 20:14

36# zhengmh

这种方法的局限性比较大。它不是作方程的曲线的通法。

作者: xuefeiyang 时间: 2011-2-14 20:19

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