inRm3D: 画板论坛 - Powered by Discuz! Board

标题: 这个推导过程错在哪里？ [打印本页]

作者: 分形几何 时间: 2010-6-29 21:04 标题: 这个推导过程错在哪里？

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
卡尔丹公式的推导
　　第一步：　　ax^3+bx^2+cx+d=0 　　为了方便，约去a得到　　x^3+kx^2+mx+n=0 　　令x=y-k/3 ，　　代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ，　　(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ，　　k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ，　　所以相加后y^2抵消，　　得到y^3+py+q=0，　　其中p=(-k^2/3)+m ，　　q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。　　第二步：　　方程x^3+px+q=0的三个根为：　　x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ 　　+[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；　　x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ 　　+w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；　　x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ 　　+w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，　　其中w=(-1+i√3)/2。　　×推导过程：　　1、方程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ；　　2、方程x^3=A的解为x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2 ，　　3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+ax^2+bx+c=0的形式。　　再令x=y-a/3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。　　设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：　　(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①，　　如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立，　　由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的两个根。　　解之得，y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，　　不妨设A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，　　则u^3=A；v^3=B ，　　u= A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2 ；　　v= B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2 ，　　但是考虑到uv=-p/3，所以u、v只有三组解：　　u1= A^(1/3)，v1= B^(1/3)；　　u2=A^(1/3)ω，v2=B^(1/3)ω^2；　　u3=A^(1/3)ω^2，v3=B^(1/3)ω，　　最后：　　方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即　　x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3)；　　x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；　　x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。
卡尔丹公式
　　方程x^3+px+q=0，（p，q∈R）　　判别式△=(q/2)^2+(p/3)^3。　　x1=A^(1/3)+B^(1/3)；　　x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；　　x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。　　这就是著名的卡尔丹公式

作者: 分形几何 时间: 2010-6-29 21:06

这个看着真是让人头疼。请到这个地方看：http://baike.baidu.com/view/1382952?tp=2_01#1

作者: 分形几何 时间: 2010-6-29 21:07

如果这个推导过程没错的话，为什么按这个作出来的根不对呢？如果按这个推导作根的话，文件就小得多了。

作者: changxde 时间: 2010-6-29 22:34

我那个工具就是用这个解三次方程的一般方法做的，不过不是用求根公式

作者: xiaongxp 时间: 2010-6-29 23:11

你们的讨论是画板分形的福音。水平有限，我只能傻看着，坐享其成了哟。

作者: 分形几何 时间: 2010-6-30 18:56

4# changxde

是不是这样作：１.作复系数一元二次方程的求根工具。用的是一元二次方程的求根公式；２.作复系数一元三次方程x^3+px+q=0的根。设x=u+v,则可以将原方程化为关于u,v的等式(u+v)*(3uv+p)+u^3+v^3+q=0,只要uv=-p/3,u^3+v^3=-q即可。这里的u^3,v^3必是一元二次方程t^2+qt-(p/3)^3=0的两根;３.用刚制成的工具一元二次方程的求根公式求出关于t的方程的两根，这两根分别是u^3与v^3对应的值；４.分别求出一元二次方程的两根t1,t2的三个三次方根A1,A2,A3,B1,B2,B3；５.检验Ai*Bj＝-p/3（i,j属于集合{１，２，３}）是否成立。成立就说明这一对值的和就是方程x^3+px+q=0的根。检验结果有三组符合条件；6.作出原方程x^3+px+q=0的三根。

作者: changxde 时间: 2010-7-1 09:36

6# 分形几何
是的，就是用这种化归的方法。

作者: changxde 时间: 2010-7-1 17:01

这个公式对不对

图片附件: pic12.GIF (2010-7-1 17:39, 6.93 KB) / 下载次数 1257
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=5775&k=1924ef949c2683caec298c90078c318b&t=1732398941&sid=a5xXWV

作者: 分形几何 时间: 2010-7-1 20:41

这个公式是如何推导的？我不知道如何推导就不知道它对不对。你是用这个作的工具？从这个公式的结构看，是用了三角代换。究竟如何进行，还有待于你的说明！期待之中。。。

作者: changxde 时间: 2010-7-2 11:01

8#中公式是从
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B
得到的，好像是韦达给出的三次方程的三角解法。
韦达给出卡尔达诺三次方程不可约情形的三角解法：若x3-3a2x=a2b，其中a＞b/2，则利用三角恒等式(2cosα)3-3(2cosα)=2cos3α，令x=2acosα，由b=2acos3α确定3α，可得出方程的三个根

韦达只给出一个根，其方法为后人沿用．
但利用上面公式我做了两遍都不成功。

欢迎光临 inRm3D: 画板论坛 (http://inrm3d.cn/)