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标题: M集的另类做法 [打印本页]

作者: changxde 时间: 2010-6-9 15:42 标题: M集的另类做法

大家都知道，对于迭代 z=z^2+c , 当赋初值 z=0 , c 的收敛域就是M集（下面简称标准M集）。
现在改变迭代函数为 z=c z^2+1 , 同样可赋初值 z=0 , 考虑c 的收敛域，我发现还是M集，并且（可能）和标准M集全等。
改变迭代函数为 z=c z^2+c_1 , 赋初值 z=0 , 考虑c 的收敛域，同样还是M集，改变 c_1 的值只是对标准M集的旋转和放缩；考虑 c_1 的收敛域,同样还是M集，改变 c 的值只是对标准M集的旋转和放缩。
对于这些结论，我不知道前辈们做过没有，如何给出理论证明。

附件: 另类M集.gsp (2010-6-9 15:42, 71.97 KB) / 下载次数 3063
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作者: 分形几何 时间: 2010-6-9 23:18

我们作过，并且由此产生了一些奇形怪状的分形图形。标准M集中的c的计算确定了M集的分布，我在粗论分形中说起过啊！z=c z^2+c_1只是附加了一个参变量。理论上的证明，我没做过。理论上的证明，现在基本上用的都是高等数学里的一些知识和方法，中学教师对这些理论研究我想还不足以证明其正确性，那是另一个方向，属于《分形图形学》中的理论知识也可以说是分形学科的前沿，也是分形图形学的一个瓶颈！理论上如果这些问题解决了，那么只是一个编程的过程了。而编程的人会得很多，可能把分形图形作得出神入画的人并不多！象网上见到的一些极客的作品，能作出来这种东东的人并不多！

作者: changxde 时间: 2010-6-13 23:28

以前看粗论分形贴时没有认真的实践，看来缺的课还很多，需要努力。

作者: changxde 时间: 2010-6-27 16:37

等高线试验

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作者: xiaongxp 时间: 2010-6-27 18:55

4# changxde
太好了，奇、绝、新，下载学习。

作者: changxde 时间: 2010-6-27 20:53

谢谢向老师的夸奖。
f(z)=z2+c with c=-0.2-0.7i

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作者: changxde 时间: 2010-6-27 21:30

f(z)=(z3+c)/(dz) with c=0.001 and d=0.95-0.31225i, shown on [-1.5;1.5]×[-1.5;1.5].

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作者: 柳烟 时间: 2010-6-27 21:33

4# changxde
下载学习。等高线，这名词我第一次听说。

作者: 分形几何 时间: 2010-6-27 21:56

妙在引入变换！

作者: 分形几何 时间: 2010-6-28 00:01

提个思考题：如何作出终点在单位圆上的所有点C组成的集合？

作者: changxde 时间: 2010-6-28 17:20

用条件em=1着色行吗。

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作者: xyj200909 时间: 2010-6-28 19:36

10# 分形几何
不好找，下图是误差为0.01时的点的集合图像，迭代次数越高，图像缺失的越多，想来应该与电脑分辨率有关，它不可能像数学上的平面一样是连续的点集

图片附件: 找点.jpg (2010-6-28 19:36, 15.72 KB) / 下载次数 1295
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作者: 分形几何 时间: 2010-6-28 20:02

这些都不对。终点落在单位圆上的点C的集合应该是M集的边界线。这条曲线不好作，但确实有人做成。我见过，但用画板作难度较大。主要是因为M集的边界是极其复杂的一条曲线。其长度随迭代次数在变化。当迭代次数越大时，其长度也越大，可以用来模拟海岸线、云等不规则几何体的形状。而画板中的采样点是有限的，正常情况下作出来的线很可能是断头的。扫描法也许会解决断头的问题。这就是这一问题的背景与意义！

图片附件: Snap34.jpg (2010-6-28 20:58, 8.01 KB) / 下载次数 1634
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作者: changxde 时间: 2010-6-28 23:01

调整前面文件中着色条件中的精度

图片附件: pic.GIF (2010-6-28 23:30, 5.67 KB) / 下载次数 1546
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作者: xiaongxp 时间: 2010-6-28 23:45

14# changxde
你真行，无比钦佩。
我一直想通过掏空法解决等势线作图，看来方向错了。向你学习。

作者: 分形几何 时间: 2010-6-28 23:57

如何调整精度？能具体一点吗？你用的是不是剔除外部等势线法？

作者: changxde 时间: 2010-6-29 07:40

对，利用4#的文件，把那个0.05改为0.5剔除外部等势线.

作者: changxde 时间: 2010-6-29 07:51

我更钦佩二位老师的分形技术，更钦佩你们推广了画板分形，我才有机会了解用画板玩分形。

作者: xyj200909 时间: 2010-6-29 15:58

如果迭代次数为n，那么M集内部的点集逃逸时间为n，往外依次为n-1,n-2,.....2,1,0,我们想找的边界应该是逃逸时间为n的点集的边界，但理论上这一圈线是没有厚度的，而且这个边界和et=n-1,et=n-2的边界粘的非常紧密，所以我们做不出真正的边界，只能作出近似边界，而且，为了能看到，做的实际上是有厚度的等势带，只不过他们贴的非常紧密而已
下图M集迭代60次，近似边界就是et介于30和20之间的部分，而介于60和59之间的部分无法做出，因为他们太细了，细到几乎没有厚度
不知这个说法是否正确

图片附件: 近似边界.jpg (2010-6-29 15:58, 20.89 KB) / 下载次数 1316
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作者: changxde 时间: 2010-6-29 16:31

19# xyj200909
说的对，“点”是没有大小的，“线”是没有粗细的，所以真正的“点”和“线”都是看不见的。

作者: changxde 时间: 2010-7-8 00:28

差之毫厘，谬之千里。这句话用在J集参数上一点也不过分。
今天在维基百科上找一图，

http://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set
试着做一做，用了几个钟头也没找准参数。

图片附件: Julia(1-z2+z4_(2+4z)+c(-.166,.13)1.JPG (2010-7-8 00:28, 13.68 KB) / 下载次数 1669
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作者: xuefeiyang 时间: 2010-7-8 05:58

你是如何把等势线剔除得如此干净？

作者: changxde 时间: 2010-7-8 08:00

前面的方法

作者: xuefeiyang 时间: 2010-7-8 16:24

4# changxde

请问：(1-sgn(Cc'-0.05))这个算式有什么用处？如何用的呢？

作者: xuefeiyang 时间: 2010-7-8 17:00

21# changxde

这里给出的两个算式到底是哪个呢？

作者: changxde 时间: 2010-7-8 17:03

(1-sgn(Cc'-0.05))没有用，我是先算了备用的结果没用。
两个用一个进行灰度着色应该都可以。

作者: changxde 时间: 2010-7-8 17:04

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作者: changxde 时间: 2010-7-8 17:15

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作者: math 时间: 2010-7-8 20:00

这帖子太棒了，应该建议板主加精。

作者: xiaongxp 时间: 2010-7-8 20:29

21# changxde
惭愧呀，changxde老师的等势线法我还没读懂，请教其数学原理何如？
我只会逃逸法和圆覆盖法作复分形：

J42.gsp (19.38 KB)

J42.1.jpg

J42.1.gsp (19.41 KB)

J42.3.jpg

J42.3.gsp (19.81 KB)

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作者: changxde 时间: 2010-7-8 21:30

我的想法（谈不上原理）很简单，取p和p附近一点q，分别求出它们的势值，若势值相同，说明它们在一个等势区；若势值不同，说明它们不在一个等势区，中间间隔等势线，据此划线。

作者: xiaongxp 时间: 2010-7-8 22:06

谢谢，还得好好揣摩领会才是。

作者: math 时间: 2010-7-8 22:17

请xiaongxp老师能否把圆覆盖法简单说明一下做法，谢谢。

作者: xiaongxp 时间: 2010-7-8 22:43

经典逃逸时间算法基于一个半径为r(即阈值)的圆盘，当迭代点列首次跳出圆盘时就终止这个点列的迭代，其特征值p记录为0。而圆覆盖法却反其道而行之，当迭代点列首次跳入圆盘时，就像跌入陷阱一样，迭代即终止。所以，只需将p中势值取倒数。

作者: xuefeiyang 时间: 2010-7-8 23:16

说到底这几种方法都是基于一点就是距离。不管是逃逸时间算法还是等势线法都是用时间作为刻画分形的参量进行不同的处理得到的。各有其妙！

作者: 柳烟 时间: 2010-7-8 23:34

看了向老师说的圆覆盖法,又去看了30楼向老师附的逃算法与圆算法的二个对照文件,有点懂了,谢谢.

作者: xuefeiyang 时间: 2010-7-8 23:45

32# xiaongxp

只要作出逆迭代的J集，你多一点观察就不难发现这种等势线作法的原理。

作者: 柳烟 时间: 2010-7-9 00:00

逆迭代对我来说,完全陌生,慢慢领会.

作者: xiaongxp 时间: 2010-7-9 00:08

31# changxde
37# xuefeiyang
我参透了等势线法，谢谢指点。为方便三种方法的比较，将图片及原文件移至30#

作者: math 时间: 2010-7-9 10:39

为什么这种等高线方法做成的文件，扫描速度变慢了很多？有办法提速吗？

作者: xiaongxp 时间: 2010-7-9 10:48

40# math
采样数设得较大，是为了提高曲线的精细度。减小采样数、减少迭代次数可提速但破坏精细程度，最好的方法是设计最合理的算法，减少运算次数。

作者: math 时间: 2010-7-9 11:09

总算学会了，好高兴：

图片附件: 等高线.JPG (2010-7-9 11:09, 53.34 KB) / 下载次数 3494
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作者: inRm 时间: 2010-7-9 11:27

42# math

漂亮！

作者: xiaongxp 时间: 2010-7-9 12:43

42# math
不错哇，第一个作品竟如此高的水准。

作者: changxde 时间: 2010-7-9 14:55

42# math
出手不凡

作者: changxde 时间: 2010-7-9 16:17

学习xiaongxp老师圆覆盖法扫一图。

图片附件: pic15.jpg (2010-7-9 20:43, 20.55 KB) / 下载次数 3457
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作者: 柳烟 时间: 2010-7-9 17:03

我跟不上了,changxde老师的等势线作法,我现在仍不明,大家别笑话咱.向老师的方法,我把旧作拿来试了试,大体还明白一二.

作者: changxde 时间: 2010-7-9 17:10

柳老师从UF上学了很多东西，羡慕。

作者: changxde 时间: 2010-9-24 15:46

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作者: xuefeiyang 时间: 2010-9-24 19:12

49# changxde

用离散点扫描可以省时间。

作者: changxde 时间: 2010-11-15 10:41

M集与J集合并

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作者: 榕坚 时间: 2010-11-15 11:47

51# changxde

很漂亮。

作者: changxde 时间: 2010-11-15 15:49

与UF做法不同

图片附件: MM.JPG (2011-1-18 22:50, 26.25 KB) / 下载次数 1682
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附件: 5M.gsp (2010-11-15 15:55, 57.99 KB) / 下载次数 2574
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作者: 柳烟 时间: 2010-11-15 16:32

53# changxde
作得很好，与UF中的图一致。下载学习，问好。

作者: xuefeiyang 时间: 2010-11-15 20:26

53# changxde

作得相当完美！再把红色部分调细一点儿就更好!

作者: xiaongxp 时间: 2010-11-15 20:58

54# 柳烟
常老师总能为我们带来惊喜。好！好！好！

作者: mjj_ljh 时间: 2011-1-18 21:32

1# changxde

偶然翻阅到此贴，发现可以用共轭变换证明，任何一个二次函数共轭于fc=z^2+c，只要施加一个相似变换即可。

作者: changxde 时间: 2011-1-19 15:00

我试试看，有问题再请教。

作者: changxde 时间: 2011-1-20 08:44

对于Z=C*Z^2+1做变换z=1/w则变为w=c+w^2故c 的收敛域为标准M集；
对于Z=C*Z^2+C1做变换z=c1/w则变为w=c1*c+w^2故c 的收敛域为标准M集的1/c1.

作者: mjj_ljh 时间: 2011-1-20 13:41

对于Z=C*Z^2+1做变换z=1/w，是否应为对于f(Z)=C*Z^2+1做变换z=1/w,若是则结果应为f(w)=c*(1/w^2)+1……不知对否？

作者: changxde 时间: 2011-1-21 09:43

59#错了，错把Zn与Z(n+1)混了。
应该是：
对于Z(n+1)=C*(Zn)^2+1做变换 Wn=C*Zn 则变为 W(n+1)=(Wn)^2+C 故c 的收敛域为标准M集；

作者: changxde 时间: 2011-1-21 09:52

对一般二次函数跌代
Z(n+1)=a*Zn^2+b*Zn+c
引入变换
Wn=a*Zn+b/2
则变为
W(n+1)=(Wn)^2+C (其中C=ac-b^2/4+b/2)

作者: mjj_ljh 时间: 2011-1-21 15:32

是的，我在迭代研究一贴中有这个推理。

作者: xuefeiyang 时间: 2011-1-29 12:05

57# mjj_ljh

梅兄所说的“共轭变换”指的是什么？通常意义下的共轭是指点关于某条直线对称。如果两个点集关于某条直线对称就称这两个点集是关于该直线共轭。该直线称为这两个点集的对称轴。一个可行的推广是将直线拓展为曲线。不过这种拓展之后的共轭就复杂多了。因为曲线可以任意形状的。

作者: mjj_ljh 时间: 2011-1-29 19:16

64# xuefeiyang

我是在李忠《双曲几何》一书32页接触到这一概念的。
这个概念极其重要。

图片附件: 未命名.JPG (2011-1-29 19:16, 62.14 KB) / 下载次数 2100
http://inrm3d.cn/attachment.php?aid=9918&k=14e8ac4d836ffea0e27a9e376d29acb9&t=1732389395&sid=80bx00

作者: 柳烟 时间: 2011-10-7 12:47

今天看了changxde老师很久前已放在这里的等势线作法，重温方法后，制成FLASH 视频，让更多的分形爱好者受益。我不知我这制作对也不对，大家指正。
祥见柳烟个人网站
http://users8.jabry.com/liuyie/Fenxin/changxdeDSX.htm

作者: changxde 时间: 2011-10-7 16:25

谢谢柳老师的网站

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