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分形几何发表于 2010-6-29 21:04 | 只看该作者

这个推导过程错在哪里？

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
卡尔丹公式的推导
　　第一步： 　　ax^3+bx^2+cx+d=0 　　为了方便，约去a得到 　　x^3+kx^2+mx+n=0 　　令x=y-k/3 ， 　　代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ， 　　(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ， 　　k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ， 　　所以相加后y^2抵消 ， 　　得到y^3+py+q=0， 　　其中p=(-k^2/3)+m ， 　　q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。 　　第二步： 　　方程x^3+px+q=0的三个根为： 　　x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ 　　+[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)； 　　x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ 　　+w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)； 　　x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ 　　+w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)， 　　其中w=(-1+i√3)/2。 　　×推导过程： 　　1、方程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ； 　　2、方程x^3=A的解为x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2 ， 　　3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+ax^2+bx+c=0的形式。 　　再令x=y-a/3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。 　　设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得： 　　(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①， 　　如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立， 　　由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的两个根。 　　解之得，y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)， 　　不妨设A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)， 　　则u^3=A；v^3=B ， 　　u= A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2 ； 　　v= B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2 ， 　　但是考虑到uv=-p/3，所以u、v只有三组解： 　　u1= A^(1/3)，v1= B^(1/3)； 　　u2=A^(1/3)ω，v2=B^(1/3)ω^2； 　　u3=A^(1/3)ω^2，v3=B^(1/3)ω， 　　最后： 　　方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即 　　x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3)； 　　x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2； 　　x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。
卡尔丹公式
　　方程x^3+px+q=0，（p，q∈R） 　　判别式△=(q/2)^2+(p/3)^3。 　　x1=A^(1/3)+B^(1/3)； 　　x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2； 　　x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。 　　这就是著名的卡尔丹公式
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分形几何发表于 2010-6-29 21:06 | 只看该作者
这个看着真是让人头疼。请到这个地方看：http://baike.baidu.com/view/1382952?tp=2_01#1
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分形几何发表于 2010-6-29 21:07 | 只看该作者
如果这个推导过程没错的话，为什么按这个作出来的根不对呢？如果按这个推导作根的话，文件就小得多了。
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changxde发表于 2010-6-29 22:34 | 只看该作者
我那个工具就是用这个解三次方程的一般方法做的，不过不是用求根公式
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xiaongxp发表于 2010-6-29 23:11 | 只看该作者
你们的讨论是画板分形的福音。水平有限，我只能傻看着，坐享其成了哟。
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分形几何发表于 2010-6-30 18:56 | 只看该作者
4# changxde


是不是这样作：１.作复系数一元二次方程的求根工具。用的是一元二次方程的求根公式；２.作复系数一元三次方程x^3+px+q=0的根。设x=u+v,则可以将原方程化为关于u,v的等式(u+v)*(3uv+p)+u^3+v^3+q=0,只要uv=-p/3,u^3+v^3=-q即可。这里的u^3,v^3必是一元二次方程t^2+qt-(p/3)^3=0的两根;３.用刚制成的工具一元二次方程的求根公式求出关于t的方程的两根，这两根分别是u^3与v^3对应的值；４.分别求出一元二次方程的两根t1,t2的三个三次方根A1,A2,A3,B1,B2,B3；５.检验Ai*Bj＝-p/3（i,j属于集合{１，２，３}）是否成立。成立就说明这一对值的和就是方程x^3+px+q=0的根。检验结果有三组符合条件；6.作出原方程x^3+px+q=0的三根。
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changxde发表于 2010-7-1 09:36 | 只看该作者
6# 分形几何
是的，就是用这种化归的方法。
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changxde发表于 2010-7-1 17:01 | 只看该作者
这个公式对不对
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分形几何发表于 2010-7-1 20:41 | 只看该作者
这个公式是如何推导的？我不知道如何推导就不知道它对不对。你是用这个作的工具？从这个公式的结构看，是用了三角代换。究竟如何进行，还有待于你的说明！期待之中。。。
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changxde发表于 2010-7-2 11:01 | 只看该作者
8#中公式是从
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B
得到的，好像是韦达给出的三次方程的三角解法。
     韦达给出卡尔达诺三次方程不可约情形的三角解法：若x3-3a2x=a2b，其中a＞b/2，则利用三角恒等式(2cosα)3-3(2cosα)=2cos3α，令x=2acosα，由b=2acos3α确定3α，可得出方程的三个根
韦达只给出一个根，其方法为后人沿用．
但利用上面公式我做了两遍都不成功。
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