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分形几何 发表于 2010-2-26 21:12

粗论分形

分形有很多分类,分形到目前为止还没有一个统一的定义,有的只是对分形描述性的解释。复变分形从本质上来说是对平面区域作的变换。只不过这种变换的手段是我们平时不常用的,尤其是初中教师基本不接触的一种变换——迭代。就拿Mandelbrot集来说,它只是反复地把复数运算z^2+c作为自变量的值输入作为新一轮计算,这种计算重复多次就是我们所说的迭代,把迭代的最终值(是一个复数)相关的一些量作为对初象的色彩值,产生了一个新的点,这个点与原来的点是同一个位置,注意仅仅是位置相同,它所代表的可能是无穷远的一个点,因为这个点的色彩是与迭代终点相关的,实质是把平面内的点用一个新的点表示出来。

inRm 发表于 2010-2-26 22:12

期待着分形大师继续写下去...

分形几何 发表于 2010-2-26 22:54

呵呵,我可称不上大师。也只是听说过分形一词。分形图形在中国并不热,与分形在国外一出现立即引起人们的关注,但在中国,到现在还有很多人没听说过分形一词。最早引起人们注意的是分形图形。被其炫丽的美所吸引。玩起分形的人很少有不被迷住的。刚接触分形时,就不知道累。分形有很多专业软件,那些软件生成分形的速度非常快,迭代次数可以达到几十万,而画板作分形,我想尽了办法也只能迭代到3000次左右,并且绘图的速度也相当慢。有些分形软件那绘图速度简直是无法和画板相提并论。但我还是选择了用画板来作分形。因为画板作分形可以清楚地知道是什么数学原理,而用专业的分形软件做是很快,而且生的画质也非常好,但就象人们用傻瓜相机一样,只知道是那样的,但不知道为什么会是那样的。

柳烟 发表于 2010-2-26 23:00

分形确实是一块在国内等待人们开荒的处女地,确实有其魅力,读楼主的帖子,受益不少。我也期望楼主继续写下去。

sdytstl 发表于 2010-2-26 23:03

[b] [url=http://www.inrm3d.cn/redirect.php?goto=findpost&pid=7069&ptid=752]3#[/url] [i]分形几何[/i] [/b]

xue老师,终于见到你关于分形的高论了,期待已久了,期盼续集!若能有具体的分形实例讲解,则对我等分形“门外汉”更是万分感谢了!

xiaongxp 发表于 2010-2-27 00:20

胡兄对复分形的表述言简意赅、恰如其分。支持继续写下去。

分形几何 发表于 2010-2-27 08:54

简易M集的绘制。请需要的板友下载下面的文件,并玩好这个分形。后面的部分贴子将根据这个文件所包含的相关知识进行描述。
[attach]2860[/attach]

zhchgao 发表于 2010-2-27 09:00

关注这个贴子。

分形几何 发表于 2010-2-27 09:04

这个分形的绘制包括两部分,1 扫描框架的制作,2 M集绘制的计算。
1 扫描框架包括两条线和几个按钮。水平那条线段是用来固定扫描线的。不妨高为AB,在线段AB上任取一点作为扫描线的一个端点,过该点作扫描线的垂线,在垂线上任取一点作为扫描线的另一个端点。连结这两个点得到扫描线。选中垂足和点A作移动按钮,速度设为高速,再选中垂足作动画按钮,速度设为其它,值为0.2,依次选中这两个按钮,作系列按钮,命名为绘图。用文本输入工具作热字(代替绘图按钮),隐藏三个按钮。隐藏所有不必要的线及按钮,全选窗口,制作工具“简易绘图框架”,完成第一步的制作。

分形几何 发表于 2010-2-27 09:33

M集的计算是基于复变换方程:f(z)=z^2+c。根据复数的运算,设z(x0,y0),C(xc,yc),则z^2+c=(x0^2-y0^2+xc,2x0*y0+yc),据此,
1. 首先新建五个参数,标签依次为x0,y0,xc,yc,n,先把它们的值均设置为1。其中n为迭代次数;
2. 作两个计算:x0^2-y0^2+xc,2X0*y0+yc。然后依次选中这两个计算结果绘制点;
3. 依次选中参数x0,y0,n,作由x0到x0^2-y0^2+xc、y0到2x0*y0+yc、迭代次数为n的迭代。这时你会发现窗口中出现了一个迭代点(因为前面设置的迭代深度n=1,所以只有一个迭代点)。选中迭代象,在“变换”菜单中作终点;
4. 度量迭代终点的横纵坐标,不妨设为xa,ya,计算xa^2+ya^2。至此我们获取了与终点有关的三个参数;
5. 为了便于修改,我们新建一函数f(x),求出f(xa),f(ya),f(xa^2+ya^2),将这三个函数值作为点C的着色值。
6. 在窗口中任作一点,命名为C。度量点C的横纵坐标值
7. 修改刚开始时作的参数xc,yc的值分别为点C的横纵坐标值;
8. 将刚才计算所得的三个函数值以及点C选中,用“显示/颜色/参数”菜单的浮动面板中选择RGB,此时你会发现在原来点C的位置出现了一个新点,而原来的点C不见了。选中这个刚产生的点,在属性面板中选其父对象,你会看到点C,但下面的隐藏选项打有对钩,取消这个对钩,再看窗口,点C出现了;
9. 框选点C(即同时选中点C和与点C重合的那个点)及扫描线,在“构造”菜单里选轨迹,这时你会发现在扫描线的位置出现了一条新的线段,这就是我们下面作扫描绘图的真正的扫描线。选中该轨迹,在“显示”菜单里选追踪轨迹。此时可以隐藏前面做框架时所说的扫描线。
至此完成了第二步。点击绘图按钮开始绘制M集。但你发现你所绘制出来的根本就不是我们通常看到的M集。原因出在哪里呢?改变参数x0,y0的值,使其值皆为0,再次绘图,你会看到在绘图窗口中才会扫描出通常我们看到的M集。

分形几何 发表于 2010-2-27 09:34

对大多数板友来说,我这样啰嗦是非常没必要的。只要一个文档,自己一看就清楚了。但对刚接触画板的板友们来说,这样啰嗦还是有必要的。敬请原谅!

inRm 发表于 2010-2-27 10:00

茅塞顿开。令人感动的无私奉献。

sdytstl 发表于 2010-2-27 10:25

[b] [url=http://www.inrm3d.cn/redirect.php?goto=findpost&pid=7082&ptid=752]11#[/url] [i]分形几何[/i] [/b]
谢谢xue老师的无私分享,我想这一贴会将更多的版友引入“分形”这一奇妙而又神奇的世界,建议周老师置顶,加精,好贴,再一次感谢xue老师,期待更精彩的彩色M集的介绍,翘首以待啊!!

分形几何 发表于 2010-2-27 10:39

一点建议:学习一事,要深入!思考一个问题,只有当你深入思考时,你才会发现问题,这些问题正是引你进步的主要原因。没有问题的学习,那不是真正的学习。原来求师得上的很多贴子都非常好。象张老师的《完全图》,巴恩斯利变换,庄老师的《苹果》,逃逸时间算法的M集等。每一件作品,细细探究都有学不完的东西,因为每一个问题都是可拓展的。当你把一个问题的思考引向纵深时,你会发现那真象是峡谷探险,无限的美好等着你去领略!

分形几何 发表于 2010-2-27 10:49

关于M集的问题1:为什么会随着迭代次数的增加,绘图的速度会急剧减速呢?因为运算量!可能我们平时在画板里作一个复杂的运算,再复杂的算式,电脑眨眼之间就出来答案了,但在分形的绘制里,那运算量大得惊人!打个比方说,我们设定迭代次数为100,在扫描线上取的样点为1000,电脑每画一条线,要做多少运算呢?对扫描线上的每一个点,电脑要做100次计算,这样每画一条线,电脑要做10万次计算,方能画出一条线,绘制一幅图,电脑要画很多条线,线的条数与你设定的绘图速度有关,假定要画1000条线吧,那电脑在绘制这幅图时一共要作1亿次计算方能画完。象我用的这旧电脑,绘图速度相当慢,一幅图最少也要用十几分钟。如果一个人想看看一个M集里到底都有哪些图案,穷其一生也看不完。只能说看得多与少的不同。真心希望论坛里的板友们都能积极去创作,把你所画出来的图案贴出来,让大家共同欣赏,这样我们才能看到更多的图。

分形几何 发表于 2010-2-27 10:51

关于M集的问题2 变换关系式中的两个量z与c各起什么作用呢?z决定迭代格式,而c决定图形的分布。试试看,你把点c的横纵坐标代以sin(xc),cos(yc),看看绘制出来的是什么图形?

周传高 发表于 2010-2-27 13:27

加精!置顶。

分形几何 发表于 2010-2-27 14:04

关于M集的问题4 如何化简M集中的计算问题?
这个问题到目前为止我还没有好的计算方法,请大家针对这个问题,都作些努力。记f(z0)=c,f(z1)=c^2+c,依次类推,请给出f(z10)的最简计算表达式!

分形几何 发表于 2010-2-27 14:27

分形是个大话题,一个人的力量是不可能搞透彻的。论坛上有相当一部分板友都玩过分形,我和向老师的玩复分形多一点,庄老师和梅老师玩3D分形多一些,而榕老师用英壬画板玩得很不错,作为软件的作者方老师肯定玩得很好,只是不常教我们而已!大家都来玩,才能玩出味!分形是数学与艺术结合的产物,也许我们的艺术细胞不够多,但数学是我们的专业。起码我们有一半的优势,不玩也可惜啊!请大家都来谈都来做方能成其势!

mjj_ljh 发表于 2010-2-27 14:29

[b] [url=http://www.inrm3d.cn/redirect.php?goto=findpost&pid=7088&ptid=752]15#[/url] [i]分形几何[/i] [/b]


[b]“如果一个人想看看一个M集里到底都有哪些图案,穷其一生也看不完。只能说看得多与少的不同。真心希望论坛里的板友们都能积极去创作,把你所画出来的图案贴出来,让大家共同欣赏,这样我们才能看到更多的图。”[/b]
同感!读了胡兄的文章深有感触深爱启发,用画板作分形除了技术要的就是时间,等待是充满期望的也是很难熬的,我总喜欢将这一过程比作等待新生儿诞生。希望大家看了文章一定上传高质量的作品,这样才不违胡兄的初衷。
学分形一定要将M集研究透,这不是一两句话能说的完的,有大文章,有大作为,看胡兄的精彩演绎吧!一定有你想不到的精彩。最后对胡兄的劳动深表敬意。

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